Preliminary remark on the Diophantine equation \(x_1^2-Ax_2^2-2Bx_2x_3-Cx_3^2+(AC-B^2)x_4^2=\pm 4\). (Q1506997)

Es werden einige vorläufige Resultate über die im Titel stehende unbestimmte Gleichung ohne Beweis gegeben. \(A, B\) und \(C\) sind dabei ganze Zahlen. Auf die Gleichung ist Humbert gestoßen bei seinen Untersuchungen über die komplexe Multiplikation Abelscher Funktionen. Unter anderen wird folgendes Theorem gegeben: Sämtliche ganzzahligen Lösungen \(u, x, y, z\) der unbestimmten Gleichung \[ u^2-2x^2-3y^2+6z^2=1 \] werden durch leicht angebbare Formeln aus folgenden zwei irrationalen Fundamentallösungen herbeleitet: \[ \begin{matrix}\l\quad & \l\quad & \l\quad & \l\\ u=\sqrt 2, & x=\frac 12 \sqrt 2, & y=0, & z=0; \\ u=\frac 12\sqrt 6, & x=0, & y=\frac 16 \sqrt 6, & z=0. \end{matrix} \]