Sulla formola di \textit{Taylor}. (Q1507117)

Ist \(f(x_1, x_2, \dots ,x_n)\) eine Funktion der \(n\) reellen Veränderlichen, welche für \(a_i \leqq x_i \leqq< b_i\) \((i= 1, 2, \dots, n)\) nebst ihren Ableitungen endlich und stetig ist, so gilt: \[ f(b_1, b_2, \dots, b_n) = \sum_0^{m_1}{}_{\mu_1} \cdots \sum_0^{m_n}{}_{\mu_n}\;\frac {1}{\mu_1 ! \mu_2! \dots \mu_n!}\;\left\{ \frac{\partial^{\mu_1 + \mu_2 + \cdots + \mu_n} f}{\partial x_1^{\mu_1} \partial x_2^{\mu_2} \dots \partial x_n^{\mu_n} } \right\}_{(a)} \] \[ \times (b_1 - a_1)^{ \mu_1} (b_2 - a_2)^{\mu_2} \cdots (b_n - a_n)^{\mu_n} + R_{m_1 m_2 \dots m_n}, \] wo \[ \begin{multlined} R_{m_1 m_2 \dots m_n } = \sum {}_{i_1} \frac {1}{m_{i_1}!} \int_{a_{i_1}}^{b_{i_1}} (b_{i_1} - x_{i_1})^{m_{i_1}} \left\{ \frac {\partial^{m_{i_1}+1}f}{\partial x_{i_1}^{m_{i_1}+1}} \right\}_{x_{i_1} b_{i_2}\dots b_{i_n}} dx_{i_1} \\ - \sum_{i_1, i_2} \frac {1}{m_{i_1}! m_{i_2}!} \int_{a_{i_1}}^{b_{i_1}} \int_{a_{i_2}}^{b_{i_2}} (b_{i_1} - x_{i_1})^{m_{i_1}} (b_{i_2} - x_{i_2})^{m_{i_2}} \\ \times \left\{\frac {\partial^{m_{i_1}+m_{i_2} +2} f}{\partial x_{i_1}^{m_{i_1}+1} \partial x_{i_2}^{m_{i_2}+1}} \right\}_{x_{i_1} x_{i_2} b_{i_3}\dots b_{i_n}} dx_{i_1} dx_{i_2} + \cdots \end{multlined} \] \[ + (-1)^{k-1} \sum _{i_1 \dots i_2} \frac {1}{m_{i_1}! \dots m_{i_k}!} \int_{a_{i_1}}^{b_{i_1}} \dots \int_{a_{i_k}}^{b_{i_k}} (b_{i_1} - x_{i_1})^{m_{i_1}} \cdots (b_{i_k} - x_{i_k})^{m_{i_k}} \] \[ \times \left\{ \frac {\partial^{m_{i_1}+m_{i_2} + \cdots +m_{i_k}+k } f}{\partial x_{i_1}^{m_{i_1} +1}\cdots \partial x_{i_k}^{m_{i_k}+1}} \right\}_{x_{i_1} \dots x_{i_k}; b_{i_k}+1 \dots b_{i_n}} dx_{i_1} \cdots dx_{i_k} + \cdots \] \[ \begin{multlined} + (-1)^{n-1} \frac {1}{m_1! m_2! \dots m_n!} \int_{a_1}^{b_1} \int_{a_2}^{b_2} \cdots \int_{a_n}^{b_n} \prod_1^n {}_i (b_1-x_1)^{m_1} \\ \times \left( \frac {\partial^{\sum_i^n im_1+1}f}{\partial x_1^{m_1+1} \cdots \partial x_n^{m_n+1}} \right)_{(x_1 \dots x_n)} dx_1 dx_2 \cdots dx_n . \end{multlined} \] Hierin bedeutet das Zeichen \( \sum_{(i_1, \dots, i_k)}\) daß\ die Summe sich über alle Kombinationen \(k\)-ter Klasse der Zeiger \(1, 2, \dots, n\) erstreckt und \((i_{k-1}, \dots, i_n)\) die zu \((i_1,i_2, \dots, i_k)\) komplementare Kombination der \((n -k)\)-ten Klasse. Durch diese Formel ist die Differenz zwischen dem Wert der Funktion \(f(x_1, x_2, \dots, x_n)\) im Punkte \((b_1, b_2,\dots, b_n)\) und der Summe der ersten \((m_1 + 1) (m_2 + 2) \dots (m_n + 1 )\) Glieder der \textit{Taylor}schen Entwicklung (wo \(\mu_i \leqq m_i)\) als Summe von \(2^n - 1\) Integralen dargestellt. Sind die Zeiger \(1, 2, \dots, n\) verteilt in \(k\) Gruppen von bezüglich \(\nu_1, \nu_2, \dots, \nu_k\) Elementen: \[ \alpha_1, \alpha_2, \dots , \alpha_{\nu_1};\;\beta_1, \beta_2, \dots , \beta_{\nu_2}; \dots ; \lambda_1, \lambda_2, \dots \lambda_{\nu_k}\;(\nu_1 + \nu_2 + \cdots + \nu_k = n) \] und setzt man \[ \begin{aligned} & x_{\alpha_i} = a_{\alpha_i} + (b_{\alpha_i} - a_{\alpha_i}) t_1 \quad (i= 1, 2, \dots, \nu_1),\\ & x_{\beta_j} = a_{\beta_j} + (b_{\beta_j} - a_{\beta_j}) t_2 \quad (j= 1, 2, \dots, \nu_2), \\ & \hdotsfor1\\ & x_{\lambda_s} = a_{\lambda_s} + (b_{\lambda_s} - a_{\lambda_s}) t_1 \quad (s= 1, 2, \dots, \nu_k), \end{aligned} \] so geht die Funktion \(f(x_1, x_2, \dots, x_n)\) in eine Funktion \(F(t_1, t_2, \dots, t_k)\) der \(k\) reellen Veränderlichen \(t_1, t_2, \dots, t_k\) über, welche für die Werte der \(t_1, \dots, t_k\) zwischen 0 und 1 (mit Einschluß\ der Grenzen) den Bedingungen der Stetigkeit und Differenzierbarkeit genügt. Daher ergibt sich: \[ \begin{multlined} F(1, 1, \dots, 1) = f(b_1, b_2, \dots, b_n)\\ = \sum\;\frac {1}{\mu_1! \dots \mu_n!} \left\{ \frac {\partial^{\mu_1 + \cdots + \mu_n} f}{\partial x_1^{\mu_1} \dots \partial x_n^{\mu_n}} \right\}_{(a)} (b_1 - a_1)^{\mu_1} \cdots (b_n - a_n)^{\mu_n}\\ +\overline{R}_{p_1, p_2, \dots, p_k}, \end{multlined} \] wo die Summe über alle positiven Werte (oder Null) der \(\mu_1, \mu_2, \dots, \mu_n\) zu erstrecken ist, für welche \[ \mu_{\alpha_1} + \mu_{\alpha_2} + \cdots + \mu_{\alpha_{\nu_1}} \leqq p_1; \quad \mu_{\beta_1} + \mu_{\beta_2} + \cdots + \mu_{\beta_{\nu_1}} \leqq p_2, \dots, \mu_{\lambda_1} + \mu_{\lambda _2} + \cdots + \mu_{\lambda _{\nu_k}} \leqq p_k \] ist und der Rest die Form hat: \[ \begin{multlined} R_{p_1, p2, \dots p_k} = \sum_1^k{}_{i_1}\;\frac {1}{p_{i_1}!}\;(1-t_{i_1})^{p_{i_1}}\;\frac {\partial^{p_{i_1+1}} F (1, \dots, 1, t_{i_1}, 1, \dots, 1)}{\partial t_{i_1}^{p_{i_1}+1}} \\ - \sum_{(i_1, i_2)}\;\frac {1}{p_{i_1}! p_{i_2}!} \int_0^1 \int_0^1 (1-t_{i_1})^{p_{i_1}} (1-t_{i_2})^{p_{i_2}}\\ \times \frac {\partial^{p_{i_1+1} p_{i_2+2}} F (1, \dots, 1, t_{i_1}t_{i_2}, 1, \dots, 1)}{\partial t_{i_1}^{p_{i_1}+1}\partial t_{i_2}^{p_{i_2}+1}}\;dt_{i_1} dt_{i_2} \\ + \cdots + (- 1)^{k-1}\;\frac {1}{p_1! \dots p_k!} \;\int_0^1 \cdots \int_0^1 (1-t_1)^{p_1} \cdots (1 - t_k)^{p_k} \\ \times \frac {\partial^{p_1 + \cdots + p_k +k} F (t_1, t_2, \dots, t_k)}{\partial t_1^{p_1+1} \dots \partial t_k^{p_k+1}}\;dt_1 dt_2 \dots dt_k. \end{multlined} \]