On \textit{Bürmann}'s theorem. (Q1507118)

Seien \(F(x)\) und \(f(x)\) zwei analytische Funktionen der komplexen Variable \(x\) im Innern und am Rande eines einfach zusammenhängenden Bereichs \(C\), so daß\ \(|f(x)|\) gleich einer Konstante \(k\) am Rande von \(C\). Seien ferner \(a_1, a_2, \dots\) die Stellen innerhalb \(C\), wo \(f(x)\) verschwindet, und \(b_1, b_2, \dots \) diejenigen, wo \(f(x)\) einen Wert \(c\) hat von der Art, daß\ \(|c| < k\). Alsdann beweist der Verf. die folgende Entwicklung: \[ \sum_r F(b_r) = \sum_r F(a_r) +c \sum\;\frac {F' (a_r)}{f_r (a_r)} + \cdots + \frac {c^n}{n!} \sum\;\frac {d^{n-1}}{d a_r^{n-1}}\;\frac {F'(a_r)}{[f_r (a_r)]^n} + \cdots, \] wobei \(f (x) = (x - a_r) f_r(x)\) gesetzt ist. Für den Fall \(r = 1\) ist es die von \textit{Bürmann} aufgestellte Formel.