Intégrale, longueur, aire. (Q1507200)

Legt man die \textit{Riemann}sche Definition des bestimmten Integrals zugrunde, so gibt es, wie \textit{Volterra} gezeigt hat, nicht-integrable Derivierte. Das Fundamentalproblem der Integralrechnung, eine Funktion zu finden, deren Derivierte man kennt, läßt sich also durch Integration im \textit{Riemann}schen Sinne nicht immer lösen. Durch eine Verfeinerung der alten Erklärung des Integrals als eines Flächeninhalts ist es dem Verf. gelungen, einen Integralbegriff zu bilden, der diesen Übelstand beseitigt (wenigstens für den Fall, daß\ die Derivierte zwischen endlichen Grenzen liegt). Existiert das \textit{Riemann}sche Integral, so fällt das {Lebesgue}sche mit ihm zusammen. Die Grundlage der ganzen Arbeit ist mengentheoretisch. Es wird ein neuer Maßbegriff für Punktmengen eingeführt. Hat man auf einer Geraden eine ganz im Endlichen gelegene Punktmenge \(E\), so ist es auf unendlich viele Weisen möglich, ihre Punkte in eine endliche oder abzählbar unendliche Menge von Intervallen einzuschließen, die nicht übereinander greifen. Man bilde die Summen der Längen dieser Intervalle. Die untere Grenze aller derartigen Summen nennt \textit{Lebesgue} das äußere Maß\ (mesure extérieure) von \(E\) und bezeichnet es mit \(m_e (E).\) Betrachtet man auf einer Strecke von der Länge \(l\), die alle Punkte von \(E\) enthält, die nicht zu \(E\) gehörigen Punkte, so hat man eine Menge \(E_1\). Die von der Wahl der Strecke unabhängige Zahl \(l - m_e (E_1)\) heißt das innere Maß\ (mesure intérieure) von \(E\) und wird mit \(m_i(E)\) bezeichnet. Es ist offenbar immer \(m_e \geqq m_i\). Im Falle der Gleichheit heißt die Punktmenge \(E\) meßbar und \[ m (E) = m_e (E) = m_i (E) \] ihr Maß. Hat man in der Ebene eine ganz im Endlichen gelegene Punktmenge, so lassen sich ihre Punkte auf unendlich viele Arten in eine (endliche oder abzählbare unendliche) Menge von Dreiecken einschließen, und es ergibt sich alsdann, ganz ähnlich wie oben, ein äußeres und ein inneres Maß\ für die Punktmenge. Im Falle der Gleichheit beider heißt die Menge meßbar und der gemeinsame Wert ihr Maß. Diese Definition der meßbaren Mengen läßt sich leicht auf einen Raum von beliebig vielen Dimensionen ausdehnen. Das Integral \(\int_a^b f(x)dx\) wird nun in folgender Weise erklärt: Man denke sich in jedem Punkt des Kurvenbogens \(y = f (x)\), \(a \leqq x \leqq b,\) die Ordinate gezeichnet und betrachte den Inbegriff \(E\) aller Punkte; die auf diesen Ordinaten liegen, d. h. die Punkte \[ x = a + \vartheta (b - a),\quad y = \vartheta_1 f (x) \quad (0 \leqq \vartheta,\;\vartheta \leqq 1). \] Ist \(E\) eine meßbare Menge, so gilt dasselbe von der Menge \(E_1\), aller Punkte von \(E\) mit positiver Ordinate, sowie von der Menge \(E_2\) aller Punkte von \(E\) mit negativer Ordinate; es existieren also die Zahlen \(m(E_1), m(E_2),\) und \textit{Lebesgue} setzt nun \[ \int_a^b f (x) dx = m (E_1) - m (E_2). \] \(f (x)\) nennt er eine summierbare Funktion (fonction sommable). Er entwickelt eine Reihe von Eigenschaften dieser Integrale. Der neue Integralbegriff läßt sich leicht auf Funktionen von mehreren Veränderlichen ausdehnen. Bei der Definition der Begriffe ``Bogenlänge'' und ``Inhalt einer krummen Fläche'' wird eine möglichst vollkommene Analogie angestrebt. Die Länge einer Kurve \(C\) ist der unterste Häufungswert der Längen gleichmäßig nach \(C\) konvergierender polygonaler Linien, der Inhalt einer Fläche \(F\) der unterste Häufungswert der Inhalte gleichmäßig nach \(F\) konvergierender polyedraler Flächen. Es wird untersucht, wie weit der neue Integralbegriff die Darstellung dieser Größen ermöglicht. In den letzten Kapiteln werden gewisse Modifikationen erörtert, welche infolge der neuen Definitionen in Sätzen der Flächentheorie eintreten. Nennt man z. B. eine Fläche abwickelbar, wenn sie sich derart auf die Ebene abbilden läßt, daß\ die Längen erhalten bleiben, so existieren, wie gezeigt wird, \textit{abwickelbare Flächen, die kein Geradenstück enthalten.} Andererseits gibt es \textit{gewundene Kurven, die in jedem Punkt eine Schmiegungsebene haben, und deren Tangenten trotzdem eine nicht abwickelbare Fläche bilden.} Flächen und Kurven sind dabei immer durch Funktionen dargestellt, die eine gewisse Zahl von Ableitungen besitzen.