Zur Theorie der reellen Kurvenintegrale. (Q1507203)

Der Begriff des Kurvenintegrals wird hier etwas modifiziert, wodurch die Beweise verschiedener wichtiger Sätze erleichtert werden, z. B. des \textit{Cauchy}schen Integralsatzes \( \smallint ( f dx + gd y) = 0 \) (Zurückführung auf den Fall eines rechteckigen Integrationsweges). Besonders interessant sind die Betrachtungen über die Bedingung \(\frac {\partial f}{\partial y} = \frac {\partial g}{\partial x},\) deren Zustandekommen bei sukzessiver Einführung der Voraussetzungen über \(f\) und \(g\) verfolgt wird. Des Verf. Definition für das Kurvenintegral läßt sich folgendermaßen wiedergeben: Der Integrationsweg werde dargestellt durch \(x = \varphi(t), y = \psi (t)\), \(a \leqq t \leqq b\) mit der Voraussetzung, daß\ \(\varphi, \psi\) in \((a, b),\) einschließlich der Grenzen, stetig und von beschränkter Schwankung sind. Der Integrationsweg soll also ein stetiger, rektifizierbarer Kurvenbogen sein. Die Funktion \(f(x, y)\) sei für einen Bereich \(B\) erklärt, dem \(C\) angehört. Man zerlege nun \((a = t_0\), \(b = t_n)\) in die Teilintervalle \[ (1) \quad (t_0 t_1), (t_1, t_2), \dots, (t_{n-1}, t_n) \] und bilde die Summen \[ (2) \quad \sum_1^n (x_k - x_{k-1} ) f(\xi_k, \eta_k ), \quad \sum_1^n (y_k - y_{k-1} )f(\xi_k, \eta_k ), \] wo \(x_k = \varphi (t_k)\), \(y_k = \psi (t_k)\) ist und \((\xi_k, \eta_k) \) irgend ein Punkt von \(B\) in dem Rechteck mit den Ecken \((x_{k-1}, y_k), (x_k, y_k), \) dessen Seiten parallel zu den Axen sind. Wenn dann die Summen (2) bei unendlicher Verkleinerung der Intervalle (1) bestimmten Grenzwerten zustreben, so werden diese mit \((C) \smallint f dx\) bezw. \((C)\smallint f d y\) bezeichnet. Solche Grenzwerte sind z. B. vorhanden, wenn \(f\) in allen Punkten von \(C\) stetig ist. Das Neue an dieser Definition ist, daß\ der Bereich \(B\) nicht bloß\ aus den Punkten \(C\) von zu bestehen braucht. Betrachtet man \(f\) nur in dem Bereich \(C\), läßt man also \(B\) auf \(C\) zusammenschrumpfen, so bekommt man die alte Definition des Kurvenintegrals.