Notes on some points in the integral calculus (continued). (Q1507208)

Über die ersten acht Noten vergleiche man F. d. M. 32, 304, 1901 (siehe JFM 32.0304.02). Die Note IX handelt über das Integral \(\int^\infty \{ A- \varphi (\sin^2 x)\} \psi (x) dx, \) wo \(\psi (x)\) eine endliche positive Funktion von \(x\) bedeutet, die für \(x= \infty\) stetig sich der Null nähert, und wo \( \int_0^\pi \varphi (\sin^2 x) dx \) als konvergent angenommen ist. Wenn \(\int^\infty \psi (x) dx\) divergiert, so läßt sich immer eine solche Konstante \(A\) finden, daß\ \( \int^\infty \{ A- \varphi (\sin^2 x)\} \psi (x) dx, \) konvergiert. In der Note \(X\) bestreitet der Verf. die Richtigkeit der von \textit{Stolz} (``Grundzüge der Differential- und Integralrechnung'' 3, 144) ausgesprochenen Ansicht: ``Die Unterscheidung von absolut und nicht absolut konvergenten uneigentlichen Integralen, welche bei den einfachen Integralen vorzunehmen war, entfällt bei den Doppelintegralen. Es gibt nur absolut konvergente uneigentliche Doppelintegrale. Hierin unterscheiden sich dieselben aber von den Doppelreihen, bei denen neben der absoluten Konvergenz die nicht absolute oder bedingte vorkommt.'' Der Verf. behauptet, daß\ bezüglich der Doppelreihen und der Doppelintegrale der in jenen Sätzen aufgestellte Unterschied nicht bestehe, und daß\ der Anschein nur von einer unglücklichen Terminologie herrühre. Er selbst habe in einer Abhandlung (Lond. M. S. Proc: 34, 16; F. d. M. 32, 303, 1901, JFM 32.0303.04) unterschieden zwischen ``relativ'', aber ``unbedingt'' konvergenten Integralen und ``bedingt'' konvergenten; indem der letztere Ausdruck auf diejenigen Fälle beschränkt wird, bei denen besondere Bestimmungen in der Definition des Integrals getroffen werden. Die Note XI erläutert diese Auseinandersetzungen an einzelnen Beispielen. Am Schlusse dieses Artikels wird der folgende Unterschied zwischen den einfachen und den Doppelintegralen mit \(\infty\) als oberer Grenze hervorgehoben. Wenn \( \int_0^\infty \varphi (x) dx\) konvergiert, so ist \(\int_0^\infty \varphi (x) dx \) für \(x > 1\) eine stetige Funktion von \(x\). Dagegen braucht \(\int_x^\infty \int_y^\infty \varphi (x, y) dx dy\) nicht eine stetige Funktion jeder einzelnen Variable zu sein. In der XII. Note wird die Operation erörtert, welche zu der doppelten Integration die Umkehrung bildet. Hierüber werden einige Festsetzungen gemacht und mehrere bezügliche Sätze bewiesen.