Über Differentialgleichungen, die mit ihrer adjungierten zu derselben Art gehören. (Q1507256)

``Damit eine lineare Differentialgleichung mit ihrer Adjungierten zu derselben Art gehöre, ist notwendig und hinreichend, daß\ ihre Rationalitätsgruppe aus lauter Transformationen besteht, welche eine bilineare Form von nicht verschwindender Determinante in sich überführen.'' Diesen \textit{G. Fano}schen Satz (vergl. z. B. Math. Ann. 53, 568 ff., 1900) verwertet der Verf. einerseits für die Theorie der assoziierten Differentialgleichungen, andrerseits für die Differentialgleichungen, denen die Produkte der Integrale der vorgelegten Differentialgleichung zu je zweien genügen. -- Es seien die folgenden beiden Sätze hervorgehoben: 1. ``Die \(m\)-te assoziierte Differentialgleichung einer Differentialgleichung \(2 m\)-ter Ordnung, die mit ihrer adjungierten zu derselben Art gehört, wird nach Adjunktion einer Quadratwurzel zum Rationalitätsbereiche reduzibel.'' -- Dieser Satz ist bereits von \textit{R. Fuchs} gefunden worden (J. für Math. 121, 205, 1899); jedoch fehlt bei ihm die Bemerkung; daß\ die Adjunktion einer Quadratwurzel nötig werden kann, damit die Differentialgleichung reduzibel wird. 2. ``Erfüllen die Elemente eines Fundamentalsystems einer irreduziblen Differentialgleichung von ungerader Ordnung keine quadratische homogene Relation mit konstanten Koeffizienten, so ist notwendig und hinreichend, damit dieselbe mit ihrer adjungierten zu derselben Art gehört, daß\ die Differentialgleichung \(\frac 12 n(n + 1)\)-ter Ordnung, welcher die Integralprodukte zu je zweien genügen, ein dem Rationalitätsbereiche angehöriges Integral besitzt.''