Further applications of matrix notation to integration problems. (Q1507298)

Bei meinem Referat über die vorliegende Arbeit beginne ich mit der Besprechung ihres letzten Teiles. Er handelt von dem System linearer Differentialgleichungen mit variablen Koeffizienten: \[ (1) \quad \frac {dx_i}{dt} = u_{i1}x_1 + u_{i2} x_2 + \cdots + u_{in} xn \quad (i = 1, 2, \dots , n). \] Verf. faßt dieses System symbolisch in der einzigen Gleichung: \[ (2)\qquad \frac {dx}{dt} = ux \] zusammen; hierbei repräsentieren \(x\) und \(\frac {dx}{dt}\) die \(n\) Größen \(x_i\), bez. \(\frac {dx}{dt}\) die \(n\) Größen \(x_i, \) bez. \( \frac {dx_i}{dt}\) \ \((i = 1, 2, \dots, n) \) und \(u\) die Matrix der \(n^2\) Größen \(u_{ik}\). Das System von Differentialgleichungen wird dann durch ein Verfahren sukzessiver Approximation, das die Integrale auch symbolisch in sehr einfacher Form ergibt, integriert. Hierbei ist dem Verf. eine Arbeit von \textit{G. Peano} (Torino Atti 22, 437-446, 1887, französische Übersetzung Math. Ann. 32, 450, 1888) unbekannt geblieben. In ihr wird die gleiche Symbolik angewandt (nur benutzt \textit{Peano} den Begriff der höheren komplexen Zahlen) und das nämliche Resultat erhälten. Wir können daher auf Hamburgers eingehendes Referat in den F. d. M. 19, 308, 1887 (JFM 19.0308.02) verweisen. Zu der besprochenen Untersuchung wurde \textit{Baker} in Verallgemeinerung der von ihm eingeschlagenen Methode geführt, um die endlichen Transformationen der adjungierten Gruppe mit kanonischen Parametern zu bestimmen, die zu den \(r^3\) \textit{Lie}schen Zusammensetzungskonstanten \(c_{iks}\) gehört. Setzt man \[ E_{\varrho\delta} =\sum_{\tau =1}^{\tau =r} c_{\sigma \tau \varrho} e_\tau,\quad (\varrho = 1, 2, \dots, r; \;\delta = 1, 2, \dots , r), \] so sind die infinitesimalen Transformationen der adjungierten Gruppe: \[ - \left( E_{1\sigma}\;\frac {\partial}{\partial e_1} + E_{2\sigma}\;\frac {\partial}{\partial e_2} + \cdots + E_{r\sigma}\;\frac {\partial}{\partial e_r} \right) . \] Sind \(e_1', e_2', \dots, e_r'\) kanonische Parameter, und ist \(E_{\varrho \sigma}'\) ebenso aus \(e'\) wie \( E_{\varrho \sigma}\) aus \(e\) gebildet, so ergeben sich die endlichen Gleichungen der adjungierten Gruppe dem Verf. in der analog wie Formel (2) symbolisch zu verstehenden Gleichung: \[ (3) \qquad e = \varDelta' e_0. \] Hierbei repräsentiert \(e^0\) die \(r\) Variablen \(e_1^0, e_2^0,\dots, e_r^0;\) es ist \[ \varDelta' = 1 + \frac {E'}1 + \frac {E'^2}{2!} + \frac {E'^3}{3!} + \cdots, \] \(E'\) bedeutet die zu den \(r^2\) Größen \( E_{\varrho \delta}'\) gehörige Matrix. Die Formel (3) wird durch die Integration eines simultanen Differentialgleichungssystems (vergl. \textit{Lie-Engel,} Theorie der Transformationsgruppen, III, 607), das Verf. symbolisch: \[ (4) \qquad \frac {de}{dt} = E'e \] schreibt, erhalten. Das System (4) ist von der Form (2), hat im besonderen konstate Koeffizienten und ist übrigens auch von \textit{Peano} a. a. O. in gleicher Form integriert worden. In den endlichen Gleichungen (3) der adjungierten Gruppe tritt die nämliche Matrix \(\varDelta'\) wie in einer früheren Arbeit des Verf. auf (Lond. M. S. Proc. 34, 91-127; F. d. M. 32, 159, 1901, JFM 32.0159.01). Hierauf läßt sich ein einfacher Beweis des a. a. O. vom Verf. sogenannten Exponentialtheorems gründen. Verf. zerlegt die Transformationen der adjungierten Gruppe in eine Aufeinanderfolge zweier Transformationen der ersten, bez. der zweiten Parametergruppe und leitet hieraus ein Resultat her, das den bekannten Satz von der Invarianz der charakteristischen Gleichung einer \(r\)-gliedrigen kontinuierlichen Transformationsgruppe bei der adjungierten Gruppe als speziellen Fall enthält.