Sull' integrazioni di alcune equazioni lineari alle derivate parziali. (Q1507338)

Von \textit{Bianchi} sind in verschiedenen Noten die Bedingungen dafür abgeleitet worden, daß\ zwei partielle Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit zwei unabhängigen Variabeln gemeinsame Lösungen besitzen; hier wird das entsprechende Problem für lineare partielle Differentialgleichungen beliebiger Ordnung behandelt. Zunächst stellt das erste Kapitel Beziehungen zwischen den behandelten Differentialausdrücken auf: \[ \vartheta = \sum_0^m a_{r_1 r_2 \dots r_n}\;\frac {\partial^{r_1 + r_2 + \cdots + r_n}}{\partial x_1^{r_1} \partial x_2^{r_2} \dots \partial x_n^{r_n}} \quad (r_1 + r_2 + \cdots + r_n \leqq m), \] worin die \(a \)im allgemeinen Funktionen der \(x_1,\dots, x_n\) und deren Ableitungen sind, und gibt Formeln, durch welche \(\vartheta (xu),\;\vartheta (x^m u), \;\vartheta (uv) \) ausgedrückt werden, wo \(u\) und \(v\) zwei Funktionen der \(x\) bedeuten. Genügen \(u\) und \(v\) der Gleichung \(\vartheta = 0 \) unter der Annahme konstanter Koeffizienten, so wird im zweiten Kapitel gezeigt, daß\ \(U= xu + v\) der Gleichung \(\vartheta^2 U= 0 \) genügt, und für verschiedene Typen von Differentialgleichungen wird auch die Umkehrung dieses Satzes nachgewiesen. Im dritten und sechsten Kapitel werden die notwendigen und hinreichenden Bedingungen im Falle zweier unabhängigen Variabeln dafür angegeben, daß\ zwei lineare Differentialgleichungen mit konstanten, resp. variabeln Koeffizienten, von denen eine homogen ist, gemeinsame Lösungen besitzen. Im vierten Kapitel wird nachgewiesen, daß\ jede Funktion \(U\), die der Gleichung \(\vartheta^m U= 0 \) genügt, im allgemeinen durch \[ U= x^{m-1} u_1 + x^{m-2} u_2 + \cdots + x u_{m-1} + u_m \] dargestellt werden kann, worin die \(u\) der Gleichung \(\vartheta = 0 \) genügen. Verschiedene der in den vorhergehenden Kapiteln abgeleiteten Eigenschaften gelten auch für den Fall variabler Koeffizienten; auf diesen Fall wird im fünften und sechsten Kapitel eingegangen, während im letzten Kapitel Anwendungen der vorhergehenden Entwicklungen gegeben werden.