Some instructive examples in the calculus of variations. (Q1507360)

Zunächst kennzeichnet der Verf. in \(\S\) 1 das allgemeine Problem der Variationsrechnung und die zu seiner Lösung notwendigen Bedingungen. In \(\S\) 2 wird als Beispiel, welches die Notwendigkeit der von \textit{Weierstraß} hinzugefügten Bedingungen dartut, das Minimum des Integrals \( J=\int_{x_0}^{x_1} y'^2 (y' + 1)^2 dx\) behandelt. Der dritte Paragraph dient zur Klärung der Frage, bei welchen Problemen das ältere Verfahren und bei welchen die \textit{Weierstraß}sche Methode vorzuziehen ist also, die Beziehung zwischen einem Problem in Parameterdarstellung und dem entsprechenden Problem mit \(x\) als unabhängiger Variable. ``Die beiden Methoden haben es mit zwei offenbar verschiedenen Fragen zu tun, und welche der beiden den Vorzug verdient, hängt von der Natur des speziellen gerade behandelten Problems ab.'' In \(\S\) 4 wird ein Beispiel behandelt, das die Unzulänglichkeit der \textit{Weierstraß}schen Bedingung in dem Falle darlegen soll, wenn \(x\) als unabhängige Variable genommen wird, nämlich: \[ J= \int_0^1 (ay'^2 - 4byy'^3 + 2b xy'^4) dx, \] wo \(a\) und \(b\) zwei positive Konstanten sind und \(y = 0\) für \(x = 0,\) ferner \(y = 0\) für \(x = 1.\) ``In dem \textit{Weierstraß}schen Problem ist der Richtung der Tangenten der zulässigen Kurven keine Beschränkung auferlegt; in unserem Problem dagegen ist die Richtung parallel zur \(x\)-Achse, außerdem aber keine andere, ausgeschlossen. In dem ersteren Falle ist die Gesamtheit zulässiger Richtungen geschlossen, in dem letzteren ist sie nicht geschlossen.''