The isoperimetric problem on a given surface. (Q1507365)

Der bekannte Satz, daß\ die Extremalen für das isoperimetrische Problem auf einer gegebenen Fläche Kurven konstanter geodätischer Krümmung sind, läßt sich in einfacherer und zugleich allgemeinerer Art beweisen, als dies von \textit{Kneser} (F. d. M. 31, 386-388, 1900, JFM 31.0386.05) und \textit{Whittemore} (F. d. M. 32, 386, 1901, JFM 32.0386.03) geschehen ist. Während \textit{Kneser} die gegebene und \textit{Whittemore} die gegebene und die gesuchte Kurve in der Form \(v = f (u)\) annehmen, wählt der Verf. für die auftretenden Kurven die Parameterdarstellung. Hierdurch gelingt es ihm, statt des \textit{Bonnet}schen Ausdruckes für die geodätische Krümmung einer Flächenkurve einen geeigneteren, von \textit{Laurent} und \textit{Minding} gegebenen Ausdruck in die Betrachtungen einzuführen. Da sich dieser Ausdruck in den gebräuchlicheren Lehrbüchern der Differentialgeometrie nicht findet, so leitet ihn der Verf. zunächst in neuer und elementarer Weise ab, wobei der Bestimmung des für die Diskussion der zweiten Variation wichtigen Vorzeichens besondere Beachtung geschenkt ist. Dann folgt die Betrachtung des isoperimetrischen Problems auf einer Fläche; statt der üblichen unsymmetrischen Form der Differentialgleichung der Extremalen wird hierbei die symmetrische \textit{Weierstraßsche} Form benutzt. Nach Erledigung des Falles fester Endpunkte der zu bestimmenden Kurve beschließt noch die Betrachtung des Falles veränderlicher Endpunkte die Abhandlung.