On entire and quasi-entire functions with regular growth and differential equations. (Second note.) (Q1507412)

Verf. sucht im ersten Teile Kriterien zur Entscheidung darüber, ob eine durch ihre \textit{Taylor}sche Entwicklung gegebene ganze Funktion im \textit{Borel}schen Sinne reguläres oder irreguläres Wachstum aufweist; er stellt für jeden dieser Fälle ein Kriterium auf. Das Ergebnis gipfelt in dem Satze: I. Ist \(\varphi (x) = \varSigma a_m x^m\) eine ganze Funktion endlicher Ordnung \(\varrho\), so gibt es bekanntlich für hinreichend großes \(m\) unendlich viele Koeffizienten \(a_m\) der Art, daß\ \[ (1) \qquad \root m \of {a_m} = 1/ n^{\frac 1\varrho + \varepsilon} \] ist, wo \(\varepsilon\) kleiner ist als eine beliebige noch so kleine endliche positive Zahl. 1. Kriterium: Wenn nun \(\theta\) eine positive Zahl ist, die mit \(m\) weniger schnell wächst als \( m (\text{lg\,} m)^{1-\alpha} - m\) \((\alpha\) positiv, beliebig klein, aber endlich), und wenn unter \(\theta\) auf einander folgenden Koeffizienten von \(a_m\) an es stets einen gibt, der der Bedingung (1) genügt, wenn \(m\) eine endliche Grenze übersteigt, so besitzt die Funktion \(\varphi(x)\) reguläres Wachstum. 2. Kriterium: Wenn \(\theta\) mit \(m\) schneller wächst als \(m^{1 + \zeta} - m\) \((\zeta\) endlich, positiv, beliebig klein) für unendlich viele Werte von \(m\), die der Bedingung (1) genügen, sobald \(m\) eine endliche Grenze übersteigt, so besitzt die Funktion \(\varphi(x)\) irreguläres Wachstum. Hieraus ergeben sich durch Anwendung auf Differentialgleichungen die folgenden Sätze: II. Die ganzen oder quasi-ganzen Funktionen endlicher Ordnung, welche einer linearen Differentialgleichung mit in \(x\) rationalen Koeffizienten genügen, haben reguläres Wachstum. III. Es sei \[ (2) \qquad F(x, y, y', \dots, y^{(k)}) = 0 \] eine Differentialgleichung, die in \( y, y', \dots, y^{(k)}\) ganz ist und nur ein einziges Glied in\( y, y', \dots \) oder \(y^{(k)}\) enthält. Alsdann kann eine der Funktionen \(P\left(\frac 1x \right) + \sum_0^\infty \theta_nx^n \) oder \(P(x) +\sum_0^\infty \frac {\theta_n}{x^n} P(x),\) wo \(P\) eine ganze rationale Funktion und \(\varSigma \theta_nx^n \) eine ganze Funktion endlicher Ordnung bedeutet, der Gleichung (2) nur dann genügen, wenn \(\varSigma \theta_nx^n \) reguläres Wachstum besitzt. IV. Es sei \(A_0\;\frac {d^ny}{dx^n} + A_1\;\frac {d^{n-1} y }{dx^{n-1}} + \cdots + A_n y = 0\) eine lineare Differentialgleichung mit ganzen rationalen Koeffizienten und mit Integralen, die sich im Endlichen regulär (im \textit{Fuchs}schen Sinne) verhalten. Sind dann alle im Endlichen gelegenen kritischen Punkte mit Ausnahme von \(x = x_0\) Pole des allgemeinen Integrals, so gibt es eine gewisse Anzahl von Integralen der Form \((x - x_0)^r u_0,\) wo \(u_0\) eine rational gebrochene oder eine quasi-ganze Funktion ist, die im Endlichen keine anderen kritischen Punkte als Pole besitzt (d. h. die Summe eines rationalen Bruches und einer ganzen Funktion ist). Von endlicher Ordnung ist \(u_0\) nur dann, wenn sein Wachstum im \textit{Borel}schen Sinne ein reguläres ist.