On functions of infinite genus. (Q1507424)

(Siehe auch JFM 33.0422.02) Nach dem Theorem von \textit{Jensen} (F. d. M. 30, 364, 1899, JFM 30.0364.02; vergl. auch \textit{Petersen,} F. d. M. 30, 378, 1899, JFM 30.0378.01, und \textit{Lindelöf,} Referat vorstehend S. 421, unten, JFM 33.0421.01) gilt für jede ganze transzendente Funktion \(f(z)\) von \(z,\) die für \(z = 0\) den Wert 1 annimmt, die Ungleichheit \[ \frac 1{r_1 r_2 \dots r_n} < \frac {M(r)}{r^n}, \] in der \(M(r)\) das Maximum des absoluten Betrages von \(f(z)\) für \(|z| =r\) bedeutet, während \(r_1, r_2, \dots, r_n\) die nach der Größe des absoluten Betrages geordneten Nullstellen bezeichnen; dabei ist \(n\) ganz beliebig. Jetzt sei \(\theta(s)\) die Anzahl der Nullstellen, deren absoluter Betrag kleiner ist als \(s\). Aus dieser Definition folgt sofort die Gleichung: \[ \int_{r_1}^r \frac {\theta (s)}s\;ds = \log \,\frac {r^n}{r_1 r_2 \dots r_n} \,, \] und hieraus erschließt man nach dem Theorem von \textit{Jensen,} daß\ die Ungleichheit besteht: \[ \log M (r ) \geqq \int_{r_1}^r \frac {\theta (s)}s\;ds. \] Wenn \[ \int_{r_1}^r \frac {\theta (s)}s\;ds \] weniger rasch als \(\theta(r)\) wächst, so ergibt sich daraus die asymptotische Ungleichheit: \[ \log M (r ) > \frac 1r \int_{r_1}^r \theta (r) dr. \] Die so gewonnene Beziehung zwischen der Ordnung der Größe einer ganzen transzendenten Funktion und der Dichtigkeit ihrer Nullstellen scheint berufen, in der Theorie der ganzen Funktionen von unendlichem Geschlecht eine große Rolle zu spielen.