The theory of algebraic functions of one variable and their application to algebraic curves and abelian integrals. (Q1507433)

{Daß} die Wissenschaft häufig auf gewundenen Pfaden zu ihrem Ziele gelangt, daß namentlich der systematische Ausbau einer einzelnen Disziplin erst nach weiten Umwegen sich vollzieht, dafür liefert die Theorie der algebraischen Funktionen ein klassisches Beispiel. Ein Bericht über die Entwicklung dieser Theorie, an welcher Arithmetik, Algebra, Funktionentheorie und Geometrie ihren Anteil haben, ist von \textit{Brill} und \textit{Noether} in den Jahresberichten der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 1894 gegeben worden; an einem Lehrbuch, welches die verschiedenen Methoden zu einem organischen Ganzen verband und eine im wesentlichen vollständige. Darstellung der Theorie gab, hat es bislang gefehlt. Diesem Mangel wird durch die Vorlesungen von \textit{Hensel} und \textit{Landsberg} abgeholfen. Von welchen Gesichtspunkten die Verf. ausgingen, und welches Ziel sie sich gesteckt, haben sie in einem Vor- und Nachwort ausführlich dargelegt, welchen wir hier einige besonders charakteristische Sätze entnehmen: ``Im Laufe der letzten vierzig Jahre hat sich den Forschern, zuerst durch die Arbeiten von Weierstraß, Kronecker, Dedekind und Weber, mehr und mehr die Überzeugung aufgedrängt, daß\ der leichteste und sicherste Eingang in diese Theorie durch eine wesentlich arithmetische Betrachtung der rationalen und der algebraischen Funktionen gewonnen werden kann, selbstverständlich unter organischer Einführung der hierher gehörigen Resultate aus der Funktionentheorie. \(\dots\) Es war unser Wunsch, der arithmetischen Theorie neben der ihr von Natur eigentümlichen Strenge und Allgemeinheit auch diejenige Geschmeidigkeit zu geben, welche sie vor Einseitigkeit bewahrt und für die Erfüllung der zahlreichen ihr obliegenden Aufgaben fähig macht. \(\dots\) Eine in diesem Sinne ausgestaltete arithmetische Theorie vermag nach unserer Meinung ohne Mühe überhaupt jede Bereicherung in sich aufzunehmen, die ihr von irgend einer Seite her zugeführt wird.'' Diesen Anschauungen entsprechend, welchen wohl die Mehrzahl der heutigen Mathematiker zustimmen dürfte, ist die arithmetische Richtung, die jüngste unter allen, die vorherrschende, und zwar sind es namentlich die Methoden von Dedekind und Weber, welche die Verf. aufgenommen, im einzelnen weiter durchgebildet und fortgeführt haben; diese bilden das feste Gerüst, auf welches die anderen Richtungen der Theorie sich stützen. Ihren Ausgangspunkt nehmen jedoch die Vorlesungen von den elementaren funktionentheoretischen Eigenschaften der algebraischen Funktionen, wobei Riemannsche und Weierstraßsche Anschauungen in gleicher Weise Berücksichtigung finden. Erst nachdem die Untersuchungen so weit geführt sind, daß durch Angabe der charakteristischen Eigenschaften der algebraischen Funktionen ihre Stellung im Bereiche der analytischen Funktionen gekennzeichnet und die Bedeutung des zu einer Riemannschen Fläche gehörigen Funktionenkörpers auseinandergesetzt ist, setzen jene arithmetischen Theorien ein, welche speziell auf die vorliegende Funktionenklasse zugeschnitten sind und in ihrem ersten Teil im wesentlichen eine Übertragung des von Kummer, Kronecker und Dedekind für die Zahlentheorie geschaffenen Prinzips der idealen Faktoren auf das Gebiet der algebraischen Funktionen darstellen. Der wesentliche Unterschied dieser Anordnung von der von Dedekind und Weber befolgten entspricht den verschiedenen Zwecken der Schriften. Bei Dedekind und Weber steht die Forderung der Reinheit der Methode im Vordergrunde; jede mit Stetigkeitsvoraussetzungen behaftete Deduktion, insbesondere jede geometrische Veranschaulichung ist geflissentlich vermieden, und wenn der Begriff des Punktes eingeführt wird, so geschieht dies in so abstrakter Form, daß\ die Gefahr einer unrichtigen oder auch nur der Methode zuwiderlaufenden Verwendung geometrischer Vorstellungen ausgeschlossen wird. Dieser prinzipielle Standpunkt erscheint gewissermaßen als Reaktion gegen die in der älteren Riemannschen Theorie üblichen, auf angebliche geometrische Evidenzen sich stützenden Beweisführungen. Bei einem Lehrbuch, welches tiefergehendes Interesse für den Gegenstand erst erwecken soll, nicht schon voraussetzen darf, würde eine solche abstrakte Einführung das Eindringen in die Theorie nur unnötig erschweren. Das hier von Anfang an benutzte Hülfsmittel der Reihenentwicklung hebt diesen Übelstand, ohne darum die Strenge der Deduktion irgendwie zu beeinträchtigen. Auch wird der Leser, wenn, wie es hier geschieht, die prinzipiellen Verschiedenheiten der Methoden deutlich hervorgehoben werden, bald selbst fühlen, welche Hülfsmittel wesentlich, welche entbehrlich sind, wenn man den Zusammenhang mit der Theorie der analytischen Funktionen lösen will. Aus ihrer Verbindung mit dieser erwächst aber der arithmetischen Theorie außer ihrer konkreten Gestaltung auch noch die Anregung zu mannigfacher weiterer Durchbildung, welche zu einer Reihe sehr bemerkenswerter Sätze führt. Unter diesen seien zwei hervorgehoben, von denen der eine sich auf die Elementarteiler der zu einem Modul gehörigen Matrizen bezieht, der andere ein Kriterium liefert, durch welches die Ideale aus der Gesamtheit der Moduln ausgesondert werden. Die arithmetischen Theorien, welche als das wichtigste Resultat den Riemann-Rochschen Satz liefern, bilden den zweiten und dritten Teil der Vorlesungen. Diesen schließt sich am engsten der sechste Teil an, wo die tiefer liegenden Untersuchungen über die Abelschen Integrale bis zur Aufstellung des Abelschen Theorems und der Formulierung des Umkehrproblems fortgeführt werden. Der vierte und fünfte Teil sind der Theorie der algebraischen Kurven gewidmet. Diese wird von vornherein ohne jede vereinfachende Voraussetzung entwickelt, und so werden auch die Plückerschen Formeln in ihrer allgemeinsten, d. h. für jeden beliebigen speziellen Fall gültigen Fassung gegeben. Es zeigt sich, daß, nachdem einmal durch die vorangehende arithmetische Theorie eine sichere Basis für die Behandlung der algebraischen Kurven geschaffen ist, die vollständige Durchführung dieser Aufgabe nicht nur möglich ist, sondern sich auch durchaus übersichtlich gestaltet. Eine Reihe neuer Untersuchangen, wie über Kurven im Raum von drei und mehr Dimensionen, findet sich auch in diesen Teilen des Werkes. Es können hier die Leistungen der Verfasser nicht in allen Einzelheiten aufgeführt werden; denn wir finden auf Schritt und Tritt selbständige Arbeit, sei es, daß es sich um ganz neue Untersuchungen handelt oder solche, die bereits vorhandene ergänzen und abrunden, oder endlich um neue Darstellung bekannter Resultate. Häufig wird durch eine scheinbar geringfügige formale Änderung die wahre Bedeutung eines Ergebnisses erst in das rechte Licht gesetzt. So gilt nach der Ausdehnung des Begriffs der Divisorenklassen auf gebrochene Divisoren der einfache Satz, daß die den Abelschen Integralen entsprechenden Divisoren (Differentialteiler) in ihrer Gesamtheit genau eine Klasse konstituieren. Dieses Resultat findet sich im Grunde genommen auch bei Dedekind und Weber, aber durchaus nicht in dieser einfachen Fassung. Zu den rein wissenschaftlichen Vorzügen des Werkes gesellen sich noch eine sehr klare Darstellung , und eine sorgfältig gewählte Ausdrucksweise, durch die sich wohl jeder bei der Lektüre angezogen fühlt. So steht denn zu hoffen, daß\ der Wunsch der Verfasser, ihr Interesse und ihre Liebe für dieses schöne Gebiet mathematischer Forschung ihren Lesern mitzuteilen, bei recht vielen sich erfüllen werde.