On an extension of the notion of periodicity. (Q1507457)

Zweck der Note ist, zu zeigen, daß\ man für Funktionen von periodischen Funktionen mit verschiedenen Perioden eine Klassifikation herstellen kann, indem man zeigt, daß\ sie zu einer allgemeineren Funktionenklasse gehören, deren Eigenschaften auf einer neuen Erweiterung des Begriffs der Periodizität beruhen. Verf. beschränkt sich hier auf Funktionen reeller Variabeln. Ist \(F(x_1, x_2, \dots, x_n)\) eine stetige Funktion ihrer Variablen \(x_1, x_2, \dots, x_n\), so werden die reellen Zahlen \(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n\) die Elemente einer Periode \(w\) genannt, wenn identisch \[ F(x_1 + \alpha_1, x_2 +\alpha_2, \dots, x_n + \alpha_n) = F (x_1, x_2, \dots, x_n) \] ist, und \(\sqrt {\alpha_1^2 + \alpha_2^2 + \cdots + \alpha_n^2} \) wird als Modul der betrachteten Periode bezeichnet. Läßt sich die Funktion \(F\) durch lineare Transformation der \(x_n\) nicht auf eine Funktion von weniger Variablen zurückführen, so heißt sie irreduzibel, im anderen Falle reduzibel. Eine irreduzible Funktion kann nicht Perioden besitzen, deren Modul kleiner ist als eine beliebige Größe; die Gesamtheit der Perioden ist in diesem Falle eine nicht abzählbare Menge. Es lassen sich \(p\) Perioden \(\omega_1, \omega_2, \dots, \omega_p\) \((p \leqq n)\) der Art wählen, daß\ jede Periode \(\omega\) eine geometrische Summe der Form \(m_1 (\omega_1) + m_2 (\omega_2) + \cdots + m_p (\omega_p)\) ist, wo \(m_1, m_2, \dots, m_p\) rationale oder ganze positive oder negative Zahlen bedeuten. \(p\) wird die ``periodische Ordnung'' von \(F\) genannt. Die periodische Ordnung bleibt bei jeder linearen Substitution mit nicht verschwindender Determinante ungeändert, usf. Es muß\ auf die ausführliche Arbeit hingewiesen werden, die der Verf. über den behandelten Gegenstand vorbereitet.