On the zeroes of certain integral functions. (Q1507474)

(Siehe auch JFM 33.0458.02) Setzt man \(x = \xi + i\eta\), so hat die Gleichung \(x - \sin x = 0\) die einzige reelle Wurzel 0; die Zahlen \(\xi\) und \(\eta\) werden zunächst durch die Formeln \[ \xi = (2p+\tfrac 12 )\pi+\alpha,\;\eta =\log (4p+1)\pi+\beta\quad (\pm=0,1,2,3,\dots) \] gegeben, wo \(\alpha\) und \(\beta\) sehr kleine Zahlen sind. Hieran knüpft der Verf. die Diskussion der Gleichung \(ax - \sin x = 0,\) deren Wurzeln sich asymptotisch den Punkten: \[ \pm (2p+\tfrac 12) \pi \pm i \log \{ 4p + 1) \pi a\} \] nähern. Dieselben Methoden der Untersuchung werden in dem zweiten Artikel auf andere Fälle angewandt, weil der Verf. die Ermittelung der Nullstellen ganzer Funktionen für sehr wichtig hält. Das erste Beispiel ist \[ \sin x -\varSigma a_s x^s = 0 \quad (s = 0, 1, 2, \dots, n), \] wo die \(a_s\) reell, \(a_n\) positiv angenommen werden. Die Wurzeln nähern sich asymptotisch den Punkten \[ (2p+\tfrac 12) \pi + i \{\log 2 a_n +n \log (2p + \tfrac 12) \pi\}. \] Weitere Beispiele sind \(e^x - \varSigma \alpha_s x^s = 0; \) die Wurzeln, nähern sich asymptotisch ebenfalls bestimmten Werten, die aber verschieden von einander sind, je nachdem \(n \equiv 0, 1, 2, 3\) (mod.\, 4) ist.