Über Integrale, die \textit{Bessel}sche Funktionen enthalten. (Q1507522)

\textit{W. Kapteyn} hatte (s. F. d. M. 32, 465, 1901, JFM 32.0465.02 und JFM 32.0465.03) die Werte verschiedener Integrale, die \textit{Bessel}sche Funktionen enthalten, ermittelt. \textit{Gegenbauer} verallgemeinert die Resultate von \textit{Kapteyn}. Ausgehend von einer früher von ihm aufgestellten Formel (s. F. d. M. 30, 416, 1899, JFM 30.0416.01; es handelt sich um die Formel S. 417 oben [Fußnote: In dem Referat in den Fortschritten steht fälschlich am Ende der ersten Zeile ein Komma statt des Multiplikationszeichens.]), drückt er den Wert der Integrale \[ \int_0^\infty \;{\cos\atop \sin} (t \cos \varphi \cos \psi) J_{\frac 12 (2\nu -1)} (t \sin \varphi \sin \psi ) J_{\nu + m} (t)\;\frac {dt}{\sqrt t} \] durch eine Reihe aus. Setzt man darin für \(m\) eine ganze Zahl, sodann \(\nu= 0,\) so ergeben sich Formeln für die Integrale: \[ \int_0^\infty {\cos\atop \sin} (t \cos \varphi \cos \psi) \cos (t \sin \varphi \sin \psi ) J_{r} (t)\;\frac {dt}{t} \] und diese gehen für \(\psi=\frac 12 \pi,\) resp.\(\psi=\pi\) in die Formeln von \textit{Kapteyn} über. Auch der Fall \(\nu= 1\) wird durchgeführt.