Über eine Relation de \textit{Herrn Hobson}. (Q1507524)

In Lond. M. S. Proc. 25 (vergl. F. d. M. 25, 837, 1893/1894, JFM 25.0837.02) hatte \textit{Hobson} u. a. die Kugelfunktionen sowie ihre Zugeordneten durch Integrale dargestellt, die \textit{Bessel}sche Funktionen enthalten. \textit{Gegenbauer} verallgemeinert diese Formeln, indem er analoge Ausdrücke für die Funktionen \(C_n^\nu,\) die als Koeffizienten bei der Entwicklung von \[ ( 1 - 2 \alpha x + \alpha^2)^{-\nu} \] auftreten, und ihre Zugeordneten entwickelt. Er stützt sich dabei auf mehrere in seinen älteren Arbeiten (vgl. u. a. F. d. M. 7, 303, 1875, JFM 07.0303.01) abgeleitete Formeln, sowie auf die Transformation der hypergeometrischen Reihe. So ergibt sich zunächst, daß\ das Integral \[ (1) \quad \begin{cases} \int_0^\infty e^{-ax} x^\varrho J_\mu (a_1 x) dx\\ (\mu > -1, \varrho + u + 1> 0, R(a) > 0; |a| > |a_1|)\end{cases} \] sich stets durch ein \textit{Jacobi}sches Polynom ausdrücken läßt, und letzteres hängt auf einfache Weise mit den \(C_n^\nu\) zusammen. Als Resultat ergibt sich: \[ (2) \quad \begin{cases} C_\varrho^{\mu + \frac 12} (\cos \varphi) \\ \quad = \frac {2^\mu \varPi (\mu)}{\varPi (\varrho) \varPi (2\mu) \sin^\mu \varphi}\;\int_0^\infty e^{-x \cos \varphi} x^{\varrho + \mu} J_\mu (x \sin \varphi )dx, \end{cases} \] eine Formel, die für \(\mu = 0\), \(\varrho = n\) in die \textit{Hobson}sche Formel für \(P_n (\cos \vartheta)\) übergeht. Eine analoge Formel wird auch für die \(m\)-te Zugeordnete der Funktion \(C_\varrho^{\mu + \frac 12}\) aufgestellt. Verbindet man ferner die Formel für das Integral (1) mit der Gleichung \[ (3) \quad J_m (x) J_n (x) = \tfrac 2\pi \,\int_0^{\frac 12 \pi} J_{m+n} (2x \cos \varphi) \cos [(m - n)\varphi ] d \varphi, \] so läßt sich das Integral \[ (4) \qquad \int_0^\infty e^{-ax} x^\varrho J_m (\alpha x) J_n (\alpha x) dx \] \[ [m+ n + 1>0,\;\varrho + m + n + 1> 0,\;m > -1,\quad n> -1, R(a) > 0,\;|a| > |2\alpha| \] durch eine hypergeometrische Reihe darstellen. Durch Spezialisierung folgt dann, daß\ die Integrale \[ \int_0^\infty e^{-ax} [x^n J_n (\alpha x)]^2 dx, \quad \int_0^\infty e^{-ax} [x^n J_n (\alpha x)]^2 xdx, \] \[ \int_0^\infty e^{-ax} J_n (\alpha x) J_{n+1} (\alpha x) x^{2n+1} dx, \quad \int_0^\infty e^{-ax} J_n (\alpha x) J_{n+1} (\alpha x) x^{2n+2} dx \] \[ [R(a) > 0,\;|a| > |2\alpha| ] \] sich, wenn \(n\) ein ungerades (positives) Vielfaches von \(\frac12\) ist (das letzte auch noch für \(n=-\frac12\)) durch \textit{Jacobi}sche Polynome ausdrücken lassen. Zum Schluß\ wird aus Formel (3), indem man darin für \(x\) die kleinste positive Wurzel von \(J_n (x) = 0\) setzt, das Resultat gefolgert: Die kleinste positive Wurzel von \(J_{2n+\varepsilon} (x) \) ist kleiner als das Doppelte der kleinsten positiven Wurzel von \(J_n (x),\) falls \[ 0\leqq \varepsilon \leqq 1,\quad n> -\frac {1+\varepsilon}2 \] ist.