On the roots of functions connected by a linear recurrent relation of the second order. (Q1507528)

In seiner Arbeit über homogene lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung im ersten Bande von \textit{Liouvilles} Journal bemerkt \textit{Sturm,} daß\ er analoge Sätze, wie er sie dort für Differentialgleichungen aufgestellt, zuerst für Differenzengleichungen gefunden habe. Diese nicht veröffentlichten Sätze wieder aufzufinden und daraus durch einen Grenzübergang die entsprechenden Sätze für Differentialgleichungen herzuleiten, ist der Zweck der vorliegenden Arbeit. Es werden zuerst die Bedingungen dafür erörtert, daß\ die Funktionen \[ y_n (x) , y_{n-1} (x),\dots , y_0(x) \] in dem reellen Intervalle \(x \leqq x \leqq x\) eine \textit{Sturm}sche Folge bilden, derart, daß\ die Zahl der in einem Teilintervall verlorenen Zeichenwechsel gleich der Zahl der reellen Wurzeln von \(y_n\) in demselben Teilintervall ist. Dazu ist nötig, daß\ \(y_0\) für keinen Wert des Intervalls \(x_0 \dots x_1,\) verschwindet, daß\ nie zwei auf einander folgende \(y\) gleichzeitig verschwinden, daß\ ferner, wenn ein \(y\) verschwindet, die beiden benachbarten entgegengesetztes Zeichen haben, daß\ endlich, wenn \(y_n=0\) ist, gleichzeitig \[ \frac {d\,\frac {y_n}{y_{n-1}} }{dx} >0. \] Diese Kriterien werden nun angewandt auf solche \(y_n,\) die der Rekursionsformel (Differenzengleichung) \[ (1') \qquad y_{n+1} + G_ny_n + y_{n-1} = 0 \] genügen. Zugleich wird gezeigt, daß\ die allgemeine Rekursionsformel \[ (1)\qquad L_ny_{n+1} + M_ny_n + N_n y_{n-1} = 0 \] durch Einführung einer neuen abhängigen Veränderlichen in die einfachere Gestalt \((1')\) übergeführt werden kann. Damit die durch \((1')\) bestimmten Funktionen \(y_n, y_{n-1}\dots, y_0\) eine \textit{Sturm}sche Folge bilden, ist, falls \(G\) nur eine unabhängige Veränderliche \(x\) enthält, erforderlich: \[ (1^\circ) \qquad G_m' (x) \leqq 0, \qquad (2^\circ) \quad \left( \frac {y_1}{y_0}\right)\geqq 0. \] Ferner trennen die Wurzeln von \(y_n\) und \(y_{n-1}\) einander, ebenso die Wurzeln von \(y_n^{(1)}\) und \(y_n^{(2)},\) wenn \(y_n^{(1)}\) und \(y_n^{(2)}\) zwei linear unabhängige Lösungen von \((1')\) sind. Für diese Funktionen gilt nun das folgende Oszillationstheorem: Nimmt \(G_n(x)\) beständig mit wachsendem \(x\) ab, so daß\ \(G_n (x_0) \geqq L^2\), \(G_n (x_1) \leqq - M^2\) \((n = 0, 1, 2, \dots),\) und sind \(L^2\) und \(M^2\) hinlänglich groß, so gibt es in dem Intervall \(x_0 \dots x_1\) einen und nur einen Wert von \(x\) derart, daß\ 1) die Zahl der Zeichenwechsel in \(y_n, y_{n-1}, \dots, y_1\) gleich einer gegebenen Zahl \(r (\leqq n- 1\)) ist, und daß\ 2) zugleich: \[ \frac {y_1(x)}{y_0 (x)} = a, \quad \frac {y_n (x)}{y_{n-1} (x)}= a' \] ist wo \(a\) und \(a'\) reelle Konstanten bezeichnen. -- Auch der Fall, daß\ \(y\) analytische Funktionen mehrerer Parameter sind, wird kurz erörtert. Anwendungen der Sätze werden gemacht 1. auf die Rekursionsformel, der die Kugelfunktionen genügen, 2. auf die Rekursionsformel die \textit{Lommel}sche Funktion \(R^{n, m}(x),\) die bei der Darstellung der Zylinderfunktion \(J_n(x)\) durch \(J_{n+m-1}(x)\) und \(J_{n+m}(x)\) als Faktor der letzteren beiden auftritt, 3. auf die Rekursionsformeln für Zähler und Nenner der Partialbrüche des Kettenbruches \[ F(x) = \alpha_1 x + \beta_1 - \frac {\gamma_1}{\alpha_2 + \beta_2 x - \frac {\gamma_2}{\alpha_2 + \beta_3 x} - \cdots .} \] Zum Schluß\ wird, wie schon oben bemerkt, der Übergang von der Differenzengleichung \((1')\) zu der Differentialgleichung \(y''= G(x)\cdot y\) bewerkstelligt, und für diese ergibt sich das \textit{Sturm}sche Oszillationstheorem aus dem für die Differenzengleichung geltenden.