Sur un quadrilatère birectangle. (Q1507548)

Der Verf. der ersten Arbeit (siehe JFM 33.0495.01) sucht verschiedene, für die Unbeweisbarkeit des elften Axioms gegebene Beweise zu entkräften. Nach \textit{Poincaré} würde die Ersetzung des beweisbar gedachten Axiomes durch sein Gegenteil, unter Beibehaltung der übrigen Axiome, zu Widersprüchen innerhalb der auf diese Voraussetzungen begründeten Geometrie führen, während die \textit{Lobatschefskij}sche Geometrie von solchen Widersprüchen frei ist. Der Verf. bezweifelt das erstere und findet einen Widerspruch in den von \textit{Beltrami} und \textit{Poincaré} ausgesprochenen Übertragungsprinzipien, welche von den Sätzen über Geraden und Ebenen zu den Sätzen über die entsprechenden Gebilde der nichteuklidischen Geometrie führen. -- Weitere Einwände richten sich gegen den auf der Analogie der Pseudosphäre und der Ebene beruhenden \textit{Beltrami}schen Beweis, der aber auch schon von \textit{Mansion} als unvollständig und überflüssig bezeichnet worden sei. -- Bei dem von \textit{Mansion} selbst gegebenen analytischen Beweise bestreitet der Verf., daß\ die ``Gerade'' (im gemeinsamen Sinne aller drei Geometrien) durch ``zwei einander hinreichend nahe Punkte'' wirklich allgemein definiert sei, und, diese Allgemeinheit zugestenden, daß\ mit der Unbeweisbarkeit des Axioms aus dieser Definition die Möglichkeit jedes anderen Beweises nachgewiesen sei. -- Der vom Verf. weiterhin angegriffene Beweis \textit{Poincaré}s, der dem Erfahrungskreise der gedachten Bewohner eines nichteuklidischen Raumes entnommen ist, soll nur dartun, daß\ diese Bewohner aus ihren Erfahrungen mit gleicher Konsequenz zur \textit{Lobatschefskij}schen Geometrie gelangen würden, wie wir zur euklidischen. Die Einwände des Verf. gegen diese Schlüsse treffen aber mit gleicher Schärfe die Schlüsse, die wir aus unserer Erfahrung über die krümmungslose Beschaffenheit unseres eigenen Weltraumes ziehen, und zeigen erst recht die gegenseitige Unabhängigkeit und Gleichberechtigung der verschiedenen Geometrien und ihrer Postulate, einschließlich des elften Axioms. Zuletzt sucht der Verf. einen Einwand \textit{Barbarins} gegen einen von ihm selbst gegebenen Beweis dieses Axiome zu widerlegen. Hierauf antwortet \textit{Barbarin} mit der an zweiter Stelle genannten Note, in welcher er seinen Einwurf aufrecht erhält, ausführlich begründet und für die von \textit{Vidal} benutzte Figur eines Trapezes mit zwei rechten Winkeln die Gleichberechtigung der drei Geometrien nachweist.