A simple non-Desarguesian plane geometry. (Q1507555)

Die Elemente der nicht-\textit{Desargues}schen Geometrie, welche der Verf. aufstellt, sind: 1. Punkte: Die Punkte der euklidischen Geometrie. 2. Gerade: Um diese zu erhalten, nehme man in der Ebene der euklidischen Geometrie in gewöhnlicher Weise ein rechtwinkliges Koordinatensystem an, sodaß\ die nach rechts verlaufende positive \(x\)-Achse die Ebene in eine obere und eine untere Hälfte teilt. Als Gerade gelten dann alle diejenigen Geraden der euklidischen Geometrie, welche der \(x\)-Achse parallel sind, sowie diejenigen, welche mit ihrem oberen Teil gegen die positive \(x\)-Achse einen stumpfen oder rechten Winkel bilden. Jede Gerade der euklidischen Geometrie, deren oberer Teil mit der positiven \(x\)-Achse einen spitzen Winkel bildet, ist dagegen durch diejenige (nach der Bezeichnung der euklidischen Geometrie) gebrochene Linie zu ersetzen, welche man erhält, indem man unter Beibehaltung des unteren Teiles den oberen Teil der Geraden um den Schnittpunkt mit der \(x\)-Achse so lange dreht, bis der Richtungstangens gleich dem \(c\)-fachen des ursprünglichen geworden ist. Hierin bedeutet \(c\) eine willkürliche, aber ein für allemal fest gewählte positive, von 1 verschiedene Zahl. -- Strecken und Winkel sind wie in der euklidischen Geometrie zu messen. Eine Ausnahme machen nur die Winkel, welche ihren Scheitel auf der \(x\)-Achse haben und bei denen (wenigstens) ein Schenkel oberhalb der \(x\)-Achse gelegen ist und mit ihr einen spitzen Winkel bildet. Bei diesen Winkeln hat man auf den (bezw. die) Schenkel den oben beschriebenen Drehungsprozeß\ umgekehrt auszuführen. Die euklidische Größe des so erhaltenen Winkels gilt als die nicht-\textit{Desargues}sche des ursprünglichen. In dieser Geometrie gelten die ebenen Axiome der Verknüpfung, der Anordnung, der Kongruenz von Strecken und Winkeln, das Parallelenaxiom. Es gilt nicht das als erster Kongruenzsatz bekannte Axiom, ebenso gilt nicht der \textit{Desargues}sche Satz. Vor dem von \textit{Hilbert} gegebenen Beispiel einer nicht-\textit{Desargues}schen Geometrie hat die hier aufgestellte den Vorzug größerer Einfachheit. Sie unterscheidet sich aber auch von ihr dadurch, daß\ bei ihr die angegebenen Axiome wirklich sämtlich erfüllt sind, während bei der \textit{Hilbert}schen das Axiom, wonach der Winkel zweier Halbstrahlen \(h, k\) von der Reihenfolge unabhängig, also \(\angle (h, k) = \angle (k, h)\) ist, nicht erfüllt ist.