Networks. (Q1507562)

Unter einem vollständigen, normalen Dreiecksnetzwerk versteht Verf. ein nur aus dreieckigen Maschen bestehendes Netzwerk, das ein Dreieck vollständig überdeckt und bei dem zwei Knotenpunkte nur durch eine Verbindungsstrecke (connector) mit einander verbunden sind. Es wird vor allem folgender Satz mittels vollständiger Induktion bewiesen: In jedem solchen Netzwerk lassen sich stets zwei getrennte verzweigte Verbindungsstreckenzüge (``Bäume'' - trees -, ``offene Lösungen'' des Netzes) bestimmen, die durch alle Knotenpunkte gehen, keine Schleifen bilden und so beschaffen sind, daß\ nicht zwei Knoten desselben Baumes durch eine einfache Verbindungsstrecke verbunden werden können. Es folgt dann: Man kann die Seiten des Netzwerks mit Anwendung von drei Farben so färben, daß\ die Seiten jeder Masche verschiedene Farben haben. Dies Resultat wird unter Anwendung ``reziproker'' Figuren für das Vierfarbenproblem nutzbar gemacht. Jedes System gleichgefärbter Seiten ist ebenfalls als ``Lösung'' des Netzwerks anzusehen, die aber im allgemeinen nicht mehr ``offen'' ist, sondern Schleifen bildet. Es wird dann weiter der Fall erörtert, daß\ das vollständige Netzwerk nicht normal ist, d. i. daß\ zwei Knoten durch mehrere ``connectors'' verbunden sind. Aus einem Beispiel ergibt sich, daß\ es dann nicht immer eine offene Lösung hat.