Lineare Konstruktion einer Raumkurve dritter Ordnung aus drei Paaren konjugiert imaginärer Punkte. (Q1507793)

Sind die windschiefen Geraden \(g_1,g_2,g_3\) die Träger elliptischer Punktinvolutionen \((g_1), (g_2), (g_3)\), so gilt der Satz: Projiziert man aus den Punkten \(z'\) der Geraden \(g_1\) die Doppelpunkte der drei Involutionen \((g_1), (g_2), (g_3)\) durch Strahlenkegel zweiter Ordnung, so schneidet eine durch \(g_1\) gehende Ebene diese Kegel noch in Strahlen \(h'\), die einen zur Punktreihe \(g(z',\dots )\) projektiven Strahlenbüschel zweiter Ordnung bilden. Den Punktepaaren \(z_{\lambda}',z^{\prime\prime}_{\lambda},\dots\) einer auf \(g_1\) gelegenen Involution \((g_1)_{\lambda}\), zu der das Punktepaar \(P_{11},P_{12}\) gehört, entspricht ein von den ihnen entsprechenden Strahlen \(h_{\lambda}',h^{\prime\prime}_{\lambda},\dots\) gebildeter involutorischer Strahlenbüschel zweiter Ordnung mit der Involutionsachse \(h_{\lambda}\). Eine zweite auf \(g_1\) gelegene, das Punktepaar \(P_{11},P_{12}\) enthaltende Involution \((g_1 )_{\mu}\) bestimmt analog die Involutionsachse \(h_{\mu}\). Der Schnittpunkt \((h_{\lambda},h_{\mu})\) ist ein Punkt der gesuchten Raumkurve dritter Ordnung. Mit seiner Hülfe lassen sich ihre übrigen reellen Punkte unschwer ermitteln.