Sugli spazi plurisecanti di una semplice infinità razionale di spazi. (Q1507805)

Ausgangs- und Stützpunkt der vorliegenden Untersuchungen ist eine Formel, welche \textit{Segre} in seinem Aufsatz ``Gli ordini delle varietà che annullano'' usw. (vgl. F. d. M. 31, 550, 1900, JFM 31.0550.01) aufgestellt hat. Durch Benutzung derselben findet der Verf. in erster Stelle: ``Sind in einem \([d] d- l\) projektive lineare Systeme gegehen, wovon jedes aus \(\infty^p [d - 1]\) besteht, so ist die Zahl der \([l]\), in welchen sich \(d - l\) entsprechende \([d -1]\) schneiden und welche einen gegebenen \([\sigma ]\) nach einem \([\beta ]\) schneiden, durch \[ \prod^{i=\delta -\beta}_{i=1}\left( \begin{matrix} d+2\beta +i-\delta -l \\ d-\delta +\beta -l \end{matrix}\right) :\left(\begin{matrix} d-\delta +\beta -l+i-1 \\ d-\delta +\beta -l \end{matrix}\right) \] gegeben, vorausgesetzt, daß\ \(p = (\beta + 1) (d- \delta - l + \beta )\) sei. Im Falle daß\ \(2\beta + 2 \leqq \delta\), wird der vorige Ausdruck \[ \prod^{i=\beta}_{i=0}\left(\begin{matrix} d-l+i \\ d-\delta +\beta -l\end{matrix}\right) :\left( \begin{matrix} d-\delta +\beta -l+i \\ d-\delta +\beta -l \end{matrix}\right)\text{''.} \] Daher schließt der Verf.: ``Ist in einem \([r]\) eine rationale Kurve der Ordnung \(\nu\) gegeben, so ist die Zahl der \([k]\), deren jeder die Kurve in \(t\) Punkten schneidet, gleich \[ \prod^{i=t-k-1}_{i=1}\left( \begin{matrix} \nu -t+i \\ r-k \end{matrix}\right) :\left( \begin{matrix} r-k+i-1 \\ r-k \end{matrix}\right)\text{'',} \] ein Resultat, welches durch Induktion schon von \textit{Fr. Meyer} in seinem Buche ``Apolarität und rationale Kurven'' (Tübingen 1883, S. 363) und von \textit{Tanturri} in seinen ``Ricerche sugli spazi plurisecanti'' (F. d. M. 31, 551, 1900, JFM 31.0551.01) gefunden war. Durch eine ähnliche Schlußweise bestimmt der Verf. die Zahl der \([k]\), deren jeder die größte Zahl der erzeugenden Räume einer Mannigfaltigkeit \(\nu\)-ter Ordnung besitzt, die aus einer rationalen Reihe von \(\infty^1 [h]\) von \([r]\) besteht. Setzt man der Kürze halber \[ t = \frac{(k+1)(r-k)}{(h+1)(r-k)-1}\,, \] so findet man als Ausdruck der genannten Zahl \[ \prod^{i=(h+1)t-(k+1)}_{i=1}\left( \begin{matrix} \nu +h-(h+1)t+i \\ r-k \end{matrix}\right) :\left( \begin{matrix} r-k+i-1 \\ r-k \end{matrix}\right) . \] In dem besonderen Falle \(k = r - 1\) fällt dieser Ausdruck mit einer Formel zusammen, welche \textit{Tanturri} in seinem Aufsatze ``Un problema di geometria numerativa'' (vgl. F. d. M. 31, 552, 1900, JFM 31.0552.01) bekannt gemacht hat.