Untersuchungen über die Krümmung der Kegelschnitte. (Q1507871)

Auf einem Kegelschnitt wird durch das Gebüsch der Kreise der Ebene eine Involution vierter Ordnung und dritter Stufe ausgeschnitten. Nimmt man die Gleichungen der Kegelschnitte in der Form \[ E\equiv \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}-1 = 0,\quad H\equiv\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}-1 = 0,\quad P\equiv y^2-2px = 0 \] an, und geht man von dieser zur Parameterdarstellung \[ E\sim\left[x=\tfrac a2\left( \lambda +\tfrac{1}{\lambda}\right),\quad y=\tfrac{b}{2i}\left(\lambda -\tfrac{1}{\lambda}\right)\right], \] \[ H\sim\left[x=\tfrac a2\left(\lambda +\tfrac{1}{\lambda}\right),\;y=\tfrac b2\left( \lambda -\tfrac{1}{\lambda}\right)\right],\quad P\sim\left[ x=\tfrac{\lambda^2}{2p},\;y=\lambda\right] \] über, so besteht zwischen den zu den vier Schnittpunkten mit einem Kreise gehörigen Parameterarten \(\lambda_1 ,\lambda_2 ,\lambda_3 ,\lambda_4\) in den beiden ersten Fällen die Relation \(\lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\lambda_3\cdot\lambda_4 = 1\), im letzten die Relation \(\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3+\lambda_4 = 0\). Ausgehend von dieser Darstellung, erhält man leicht den Satz, daß\ die Verbindungslinie zweier der vier Punkte und das Spiegelbild der Verbindungslinie der beiden übrigen rücksichtlich einer Symmetrieachse des Kegelschnittes einander parallel sein müssen. Hieraus ergibt sich für den Krümmungskreis, für welchen drei der Punkte zusammenfallen, die einfache Konstruktion: Man suche zu dem Punkte \(P\) des Kegelschnittes den bezüglich einer Achse symmetrischen \(P'\) ziehe die Tangente in \(P'\), zu ihr die Parallele durch \(P\). Die letztere trifft den Kegelschnitt in demjenigen Punkte \(Q\), in welchem er vom Krümmungskreis von \(P\) zum zweiten Male getroffen wird, wonach dieser sich unmittelbar konstruieren läßt. Jedem Punkte \(P\) des Kegelschnittes entspricht in dieser Weise eindeutig ein Punkt \(Q\), und diese Beziehung ist, wie sich aus den angegebenen Relationen zwischen den Parametern \(\lambda_1 ,\dots ,\lambda_4\) der Schnittpunkte mit einem Kreise unmittelbar ergibt, für den Fall der Parabel eindeutig umkehrbar. In diesem Falle ist die Enveloppe der Verbindungsgeraden \(PQ\) wiederum eine Parabel. Im Falle der Ellipse, welchen der Verf. besonders ausführlich behandelt (und ebenso im Falle der Hyperbel), entsprechen jedem Punkte \(Q\) drei Punkte \(P\), die Enveloppe \({\mathfrak E}\) der Verbindungsgeraden muß\ natürlich wiederum eine rationale Kurve sein, da ihre Punkte \({\mathfrak P}\) den Punkten \(P\) der Ellipse \(E\) eindeutig zugeordnet sind. \({\mathfrak E}\) ist eine Kurve sechster Ordnung und vierter Klasse, von ihren zehn Doppelpunkten sind vier gewöhnliche und sechs Spitzen. Unter den letzteren befinden sich auch die imaginären unendlich fernen Punkte der Ellipse. Was die Gestalt von \({\mathfrak E}\) anlangt, so ergibt sich, daß\ die Kurve ganz im Endlichen verläuft, für den Inhalt der von ihr eingeschlossenen Fläche ergibt sich der Wert \(f = \frac 32\,ab\pi\). (Vergl. \textit{Tisserand:} Recueil complémentaire d'exercices sur le calcul infinitésimal. Probl. 46. Daselbst ist die Kurve abgebildet. Erste Aufl. 1876. Lp.) Dagegen führt die Rektifikation auf elliptische Integrale. Aber auch die Aufgabe der Rektifikation gestaltet sich sehr einfach, wenn man statt der gewöhnlichen eine \textit{Cayleysche} Maßbestimmung zugrunde legt. Man wende nämlich auf die Ebene diejenige affine Transformation \(T\) an, welche die Punkte der großen Ellipsenachse festhält, die Ellipse selbst aber in den über ihrer großen Achse errichteten Kreis \(K\) überführt. Wird dann als \textit{Cayley}sches Maß\ einer Strecke das gewöhnliche Maß\ derjenigen Strecke genommen, in welche sie durch \(T\) übergeführt wird, so wird die Länge von \({\mathfrak E} = 12a\). Die Transformation \(T\) spielt auch in den folgenden Untersuchungen eine wichtige Rolle, welche sich auf die der Ellipse \(E\) einbeschriebenen Dreiecke (Tripeldreiecke) beziehen, deren drei Ecken \(P_1, P_2, P_3\) nach der in diesem Referat gebrauchten Bezeichnung demselben Punkte \(Q\) entsprechen. Die Punkttripel \(P_1, P_2, P_3\) bilden eine Involution dritter Ordnung und erster Stufe. Für jedes Tripeldreieck \(P_1P_2P_3\) gilt: 1. der Schwerpunkt fällt in den Ellipsenmittelpunkt, 2. der Flächeninhalt ist \(= \frac\, 34ab \sqrt{3}\). Die hier angegebenen invarianten Eigenschaften der Tripeldreiecke sind die einzigen unabhängigen. Maxima und Minima des Umfangs erhält man für diejenigen (gleichschenkligen) Tripeldreiecke, deren Spitze in einen Ellipsenscheitel fällt. Die Tripeldreiecke sind Poldreiecke bezüglich eines imaginären Kegelschnittes, die Mittelpunkte ihrer Umkreise erfüllen eine zu \(E\) homothetische Ellipse mit den Halbachsen \((a^2- b^2 )/4b\) und \((a^2-b^2)/4a\). Durch die Transformation \(T\) werden die Tripeldreiecke in die gleichseitigen, dem Kreise \(K\) einbeschriebenen Dreiecke übergeführt, wonach ein Teil der angeführten Eigenschaften in Evidenz tritt. Da zwischen den Punkten \(P\) von \(E\) und den Punkten \({\mathfrak P}\) von \({\mathfrak E}\) eine ein-eindeutige Beziehung statthat, so erhält man, entsprechend dem System der Tripeldreiecke auf \(E\), ein solches auf \({\mathfrak E}\). Für diese Dreiecke gilt: 1. ihre Schwerpunkte erfüllen die Ellipse \(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2} = \frac 14\), 2. ihr Inhalt hat den konstanten Wert \(\frac{27\sqrt{3}}{16}ab\). Wählt man für die Ellipse die Parameterdarstellung \(x = a \cos{} = \varphi ,\;y = b\sin{} \varphi\), so kann man die Kotangenten der Winkel eines Tripeldreiecks von \(E\) und ebenso die Quadrate ihrer Seiten als Funktionen von \(\varphi\) darstellen. Alle diese Funktionen genügen der Differentialgleichung \(\frac{d^2v}{d\varphi^3}+4\frac{dv}{d\varphi} = 0\), und zwar bilden sowohl die Kotangenten der drei Winkel, als auch die Quadrate, der drei Seiten je ein Fundamentalsystem von Integralen dieser Gleichung. Die Gleichung besitzt eine kontinuierliche, eingliedrige Transformationsgruppe, welche der Verf. aufstellt.