Sugli spazii che ammettono un gruppo continuo di movimenti. (Q1508029)

Diese Arbeit nebst einer anderen noch zu veröffentlichenden behandelt die allgemeine Theorie der Räume, welche eine kontinuierliche Gruppe von Bewegungen gestatten, die Eigenschaften dieser Gruppen, ihre endlichen diskontinuierlichen Untergruppen und die Bestimmung der vierdimensionalen Räume, welche eine solche Gruppe von Bewegungen gestatten. Die Methoden, deren sich \textit{Bianchi} bedient hat (F. d. M. 28, 586 u. 642, 1897, siehe JFM 28.0586.01 und JFM 28.0642.01), um alle dreidimensionalen Räume mit einer kontinuierlichen Gruppe von Bewegungen zu bestimmen, geben über das allgemeine Problem nicht genügend Aufklärung. Eins der Ergebnisse der gegenwärtigen Arbeit besteht eben gerade darin, zur Lösung der Aufgabe mittels bloßer Quadraturen eine allgemeine Methode zu geben, die, auf den besonderen Fall der dreidimensionalen Räume angewandt, es ermöglichen würde, die \textit{Bianchi}schen Ergebnisse schnell zu finden. Aber weder die allgemeine Methode noch die verallgemeinerte \textit{Bianchi}sche können dann ohne eine grenzenlose Reihe von Rechnungen zur wirklichen Bestimmung solcher Räume führen, wenn die Anzahl ihrer Dimensionen über drei hinausgeht. Die vorliegende Abhandlung entwickelt für den Fall von vier Dimensionen eine viel schneller und bequemer zum Ziele führende Methode. Schließlich führt die Untersuchung der endlichen diskontinuierlichen Untergruppen von Bewegungen, die in solchen Räumen zulässig sind, unter anderem zu bemerkenswerten Darstellungen der Räume von den \textit{Bianchi}schen Typen VIII und IX auf der Kugel und Pseudosphäre. Ein anderes Ergebnis der gegenwärtigen Arbeit, das ein größeres Interesse beanspruchen kann, besteht darin, daß\ es die notwendigen und hinreichenden Bedingungen dafür gibt, daß\ eine Gruppe als Gruppe von Bewegungen angesehen werden kann; aus diesen Bedingungen lassen sich einige beachtenswerte Eigenschaften für manche dieser Gruppen herleiten.