Les transformations de contact entre les éléments fondamentaux de l'espace. (Q1508077)

Der Verf. macht sich recht unnötiger Weise die Mühe, direkt alle Berührungstransformationen des \(R_{n+1}\) zu bestimmen, bei denen die Punkte in \(n\)-fach ausgedehnte Ebenen \(E_n\) übergehen, und alle die, bei denen die \(E_n\) unter einander vertauscht werden. Sodann fragt er nach Berührungstransformationen des \(R_3\), die durch eine aequatio directrix definiert werden und bei denen die Geraden in Kugeln übergehen. Es stellt sich heraus, daß\ es keine gibt. Nimmt man zwei aequationes directrices von der Form: \[ x\varphi_1+y\varphi_2+z\varphi_3+\varphi_4=0,\quad x\varphi_5+y\varphi_6+z\varphi_7+\varphi_8=0, \] wo die \(\varphi_k\) lineare Funktionen von \(x_1,y_1,z_1\) sind, so erhält man eine Berührungstransformation, bei der die Geraden des Raumes \(x, y, z\) in Flächen zweiter Ordnung übergehen. Verlangt man insbesondere, daß\ diese Flächen zweiter Ordnung sämtlich Kugeln werden, so müssen die Koeffizienten der \(\varphi_k\) gewisse Relationen erfüllen, und zwar ergibt sich, daß\ die gestellte Forderung auf zwei verschiedene Arten befriedigt werden kann, so daß\ zwei Fälle zu unterscheiden sind. Im ersten Falle erhält man Relationen, die zwei Scharen von je \(\infty^{15}\) Berührungstransformationen bestimmen, und jede derartige Transformation entsteht dadurch, daß\ man zuerst eine beliebige projektive (dualistische) Transformation ausführt und dann die berühmte \textit{Lie}sche Berührungstransformation, die die geraden Linien in die Kugeln verwandelt. Im zweiten Falle findet der Verf. sechs Scharen von je \(\infty^{13}\) Berührungstransformationen, unter denen natürlich wieder die \textit{Lie}sche Transformation steckt. Der Verf. gibt sich unglaubliche Mühe, die betreffenden Relationen zwischen den Koeffizienten der \(\varphi_k\) auf jede mögliche Art dadurch zu befriedigen, daß\ er diese Koeffizienten durch ganz willkürlich bleibende Parameter ausdrückt, und er unterscheidet dabei nicht weniger als 45 verschiedene Fälle, die auf 15 Quartseiten alle einzeln durchgerechnet werden. Wozu? das bleibt unklar; denn die Berührungstransformationen, die sich hier ergeben, sind selbstverständlich unter den vorhin charakterisierten mit enthalten, worauf jedoch der Verf. mit keinem Wort eingeht. Nicht viel mehr Zweck hat die nachher behandelte Frage nach Berührungstransformationen des \(R_n\), bei denen die Geraden in Kugeln übergehen; denn für \(n> 3\) gibt es keine wirklichen Transformationen dieser Art. Die nunmehr folgenden Bemerkungen über die Berührungstransformationen des \(R_n\), die Kugeln in Kugeln überführen, enthalten nichts Neues, und das, was der Verf. über solche Transformationen sagt, bei denen je zwei auf einander abwickelbare Mannigfaltigkeiten des \(R_n\) in ebensolche verwandelt werden, ist nur eine selbstverständliche Verallgemeinerung einer Idee von \textit{Stäckel.} Der Verf. wendet sich jetzt zu der Aufgabe, alle Berührungstransformationen des \(R_3\) zu bestimmen, bei denen Asymptotenkurven in Krümmungslinien übergehen. Die langen und langweiligen Rechnungen, die er dazu durchführt, zeigen recht deutlich, wie verfehlt es ist, eine solche Aufgabe auf diesem Wege anzugreifen, um so verfehlter, als \textit{Lie} die Aufgabe längst auf dem denkbar einfachsten Wege gelöst hat. Nur weil die \textit{Lie}sche Lösung schon vorlag, konnte der Verf. sich überhaupt an diese Aufgabe wagen. Nicht viel anders verhält es sich mit der Bestimmung aller Berührungstransformationen, die Asymptotenkurven in Asymptotenkurven verwandeln, womit sich der Verf. am Schluß\ der Arbeit beschäftigt, und die er auch für den Raum von \(n\) Dimensionen behandelt.