Beiträge zur analytischen Mechanik. Zweite und dritte Abhandlung. (Q1508101)

Die erste Abhandlung dieser Beiträge zur analytischen Mechanik erschien in Leipz. Ber. 51, 371-444 (F. d. M. 30, 635, 1899, JFM 30.0635.02). Von den beiden vorliegenden Artikeln gibt die ``zweite Abhandlung'' Erläuterungen zu jener ersten. ``Wenn bei einem materiellen System von sogenannten Bedingungsgleichungen oder Bedingungsungleichungen die Rede ist, so versteht man darunter den analytischen Ausdruck derjenigen Beschränkungen, denen die Beweglichkeit des Systems, vermöge seiner von Hause aus gegebenen Konstitution, fortdauernd unterworfen ist. Diese Beschränkungen aber werden, genauer betrachtet, stets herrühren von irgend welchen mehr oder weniger unbekannten Kräften.'' Bei starren Körpern handelt es sich um die Kohäsionskräfte, die normalen Druckkräfte und die tangentialen Reibungskräfte. Dieselben sind uns ihrer eigentlichen Natur nach unbekannt; doch werden wir annehmen dürfen, daß\ alle diese Kräfte dem allgemeinen Gesetz der Gleichheit der Aktion und Reaktion entsprechen. In den beiden Paragraphen diese zweiten Abhandlung wird nachgewiesen, daß\ die Arbeiten der Kohäsionskräfte und der normalen Druckkräfte stets Null sind. Die ``dritte Abhandlung'' beschäftigt sich mit dem Gleichgewicht, und zwar werden die Kriterien des Gleichgewichtszustandes aus den in den ersten beiden Teilen entwickelten allgemeinen Vorstellungen abgeleitet. Es sei ein System von Körpern gegeben, die mit den Eigenschaften der Starrheit und Undurchdringlichkeit ausgestattet sind; in dem Innern jedes Körpers seien also Kohäsionskräfte vorhanden, ferner normale Druckkräfte bei gegenseitiger Berührung zweier Körper. Alle sonst noch einwirkenden Kräfte, einschließlich der tangentialen Reibungskräfte, werden als gewöhnliche Kräfte bezeichnet. Als Resultat einer längeren Betrachtung ergibt sich dann das allgemeine Theorem (S. 351): Die ausreichende und notwendige Bedingung dafür, daß\ das gegebene Körpersystem unter dem Einfluß\ irgend welcher gewöhnlichen Kräfte \(A, B, C\) im Gleichgewicht sei, besteht darin, daß\ für jedwedes System virtueller Verrückungen \(\delta x,\delta y,\delta z\) folgende Formel erfüllt, ist: \[ \varSigma (A\delta x+B\delta y+C\delta z)\leqq 0. \] Dabei gilt das Gleichheitszeichen, wenn alle vorhandenen Beweglichkeitsbeschränkungen durch lauter Gleichungen ausdrückbar sind. Sobald Ungleichungen vorkommen, ist die Ersetzung des Zeichens \(\leqq\) durch \(=\) unstatthaft. Dieser Umstand wird in einem besonderen Paragraphen eingehend erörtert. Der letzte Paragraph handelt über das relative Gleichgewicht an der Erdoberfläche und gipfelt in einem zu dem obigen Theorem parallel laufenden Satze, bei welchem nur statt \textit{im Gleichgewicht} zu setzen ist \textit{in relativem Gleichgewicht.}