Die Schwingungsdauer und Dämpfung asymmetrischer Schwingungen. (Q1508195)

Die vorliegende Arbeit führt die von \textit{Paul Schulze} und \textit{F. Richarz} angestellten Untersuchungen weiter fort (vgl. F. d. M. 32, 729, 1901, JFM 32.0729.01). Im ersten Teile, der von der Schwingungsdauer asymmetrischer Schwingungen handelt, wird die von den genannten Autoren aufgestellte Differentialgleichung der asymmetrischen Schwingungen für kleine Amplituden: \[ \frac{d^2\alpha}{dt^2}=-c_1\alpha -c_2\alpha^2 \] integriert; die Schwingungsdauer \(T\) ergibt sich hierbei als ein zwischen den beiden Umkehrpunkten \(\alpha = \vartheta\) und \(\alpha = -\vartheta -2c_2\vartheta^2/3c_1\) genommenes elliptisches Integral erster Gattung. Durch Diskussion dieses Integrals wird unter Vernachlässigung der Glieder, deren Größenordnung \(\vartheta^2\) übersteigt, die Formel erhalten: \[ T=\frac{\pi}{\sqrt{c_1}}\left\{ 1+\frac{5}{12}\left( \frac{c_2}{c_1}\right)^2\vartheta^2\right\} , \] und es wird bemerkt, daß\ die Hinzunahme eines Gliedes \(-c_3\alpha^3\) in der Differentialgleichung keine prinzipiellen Schwierigkeiten der mathematischen Behandlung verursacht. Die abgeleitete Formel ist an den Schwingungen eines durch Torsion aus dem Meridian abgelenkten, unifilar aufgehängten Magneten geprüft und gut bestätigt gefunden. Der zweite Teil behandelt die Verteilung der Schwingungsdauer auf die Elongationen rechts und links von der Ruhelage. Durch Diskussion der entsprechenden integrale ergeben sich die Formeln: \[ \begin{aligned} & T_l=\frac{1}{\sqrt{c_1}} \left\{1+\frac{5}{12} \left(\frac{c_2}{c_1}\right)^2 \vartheta^2\right\}\left\{\frac{\pi}{2}-\frac 23\;\frac{c_2}{c_1}\vartheta\right\}\,, \\ & T_r=\frac{1}{\sqrt{c_1}}\left\{ 1+\frac{5}{12}\left(\frac{c_2}{c_1}\right)^2 \vartheta^2\right\}\left\{\frac{\pi}{2}+\frac 23\;\frac{c_2}{c_1}\vartheta\right\} . \end{aligned} \] \(T_r\) wächst mit abnehmender Elongation, \(T_l\) nimmt hierbei ab. Für \(\vartheta = 0\) nähern sich beide Zeiten asymptotisch dem gleichen Werte. Auch diese Folgerungen wurden durch die Versuche gut bestätigt. Der dritte Teil der Arbeit ist der Dämpfung der asymmetrischen Schwingungen gewidmet. Die mathematische Behandlung geht von der Differentialgleichung aus \[ \frac{d^2\alpha}{dt^2}=-c_1\alpha -c_2\alpha^2-2b\;\frac{d\alpha}{dt}. \] Obgleich sich das allgemeine Integral dieser Differentialgleichung nach den bekannten Methoden unschwer aufstellen läßt, bedient sich der Verf. von vornherein einer Schlußweise, die nur ein angenähertes Resultat ergibt. Da nach seinen Versuchen die beobachteten Werte durchweg etwas kleiner sind als die berechneten, so muß\ dahingestellt bleiben, ob dieser Umstand der abgeleiteten Näherungsformel zuzuschreiben, oder in der zum Ausgangspunkte dienenden Differentialgleichung begründet ist.