Sur la stabilité de l'équilibre relatif. (Q1508233)

Mit den vorstehenden Aufsätzen stehen in engstem Zusammenhange die Noten des Verf. in C. R. 132, 1021-1023 (F. d. M. 32, 765, 1901, JFM 32.0765.03) und C. R. 134, 23-24 (vergl. das vorangehende Referat, JFM 33.0773.01). In der ersten Arbeit (siehe JFM 33.0773.02) hatte der Verf. durch eine Methode, die einem \textit{Dirichlet}schen Verfahren nachgebildet war, sein Kriterium gewonnen, welches die Stabilität des relativen Gleichgewichts bei einem mit gleichförmiger Rotationsbewegung behafteten Systeme sicherte (vergl. F. d. M. 32, 766, 1901, JFM 32.0766.01). Das dort gegebene Kriterium unterlag jedoch einer Einschränkung: es nimmt an, daß\ die dem Systeme zugeführte Störung nicht das Moment der Bewegungsgröße dieses Systems in bezug auf die Rotationsachse ändert. Daher ist der Zweck des zweiten Aufsatzes (siehe JFM 33.0773.03) die Befreiung des früher gefundenen Kriteriums von jener einengenden Beschränkung. Der betreffende Satz lautet jetzt. ``Es sei \(M_0\) ein Wert des Momentes der Bewegungsgröße. Man nehme an, daß\ man für jeden dem \(M_0\) hinreichend nahe liegenden Wert \(M\) der Bewegungsgröße die Sätze aussprechen darf: 1. Jedem Werte von \(M\) entspricht ein Gleichgewichtszustand \(E\), bei welchem die Summe \(\varPhi = F + \varOmega + W\) einen kleinsten Wert unter denen annimmt, den sie ohne Änderung in dem Werte von \(M\) annehmen kann, 2. Der Zustand \(E\) ändert sich stetig, wenn der Wert von \(M\) sich stetig ändert. Unter diesen Bedingungen ist der Zustand \(E_0\), der dem Werte \(M_0\) von \(M\) entspricht, selbst für die Störungen stabil, welche das Moment der Bewegungsgröße des Systems verändern.'' In der dritten Abhandlung vergleicht der Verf. zunächst sein Kriterium mit demjenigen, das \textit{H. Poincaré} in \(\S\) XIV seiner großen Abhandlung ``Sur l'équilibre d'une masse fluide animée d'un monvement de rotation'' ausgesprochen hatte (Acta Math. 7, 259-380; F. d. M. 17, 864, 1885, JFM 17.0864.02). Es stellt sich heraus, daß\ das \textit{Poincaré}sche Kriterium dem vom Verf. aufgestellten gleichwertig ist. Durch eine Untersuchung von \textit{Hadamard} über das von \textit{Thomson} und \textit{Tait} ausgesprochene Kriterium (Assoc. Franç. Bordeaux; F. d. M. 27, 622, 1896, JFM 27.0622.02) ist gezeigt worden, daß\ dasselbe für die Stabilität des relativen Gleichgewichts nicht notwendig zu bestehen braucht. Deshalb geht der Verf. auf die entsprechende Untersuchung für das \textit{Poincaré}sche und sein eigenes Kriterium im zweiten Teile der dritten Abhandlung ein und gelangt zu dem entsprechenden Schluß: ``Weder das von \textit{H. Poincaré} gegebene Kriterium noch das von uns ausgesprochene werden mit Notwendigkeit bestätigt, wenn das relative Gleichgewicht stabil ist.''