Sul moto parallelo ad un piano di un fluido in cui vi sono \(n\) vortici elementari. (Q1508248)

Sind \(x_i,y_i\) die Koordinaten eines Flüssigkeitsteilchens, \[ P=-\tfrac{1}{\pi}\, \varSigma_{ik}m_im_k\log \varrho_{ik}, \] so hängt die Integration der Bewegungsgleichungen für die Wirbel der Flüssigkeit von einer Differentialgleichung erster Ordnung \[ \partial f/\partial t+(P,f)=0 \] ab; die Bewegungen, welche von der Zeit unabhängig sind, genügen der Gleichung \((P, f) = 0\). Außer dem Integrale \(P =\) const. existieren noch die drei anderen \[ \begin{aligned} & f_1=\varSigma x_i=\text{const.},\;f_2=\varSigma m_ip_i=\text{const.}, \\ & f_3=\varSigma m_i(x_i^2/m_i^2+p_i^2)=\text{const.} \end{aligned} \] Der Verf. beweist nach dem Vorbilde der von \textit{A. Mayer} für die Integrale der Dynamik angestellten Untersuchung, daß\ diese drei Integrale die einzigen sind, welche nicht von der Form der Funktion \(P\) abhängen, ferner daß\ sie eine Gruppe bilden, welche eine einzige distinkte Funktion enthält oder aber ein System in Involution zweiter Ordnung. Bildet man \[ \begin{aligned} f & =-\varSigma m_i(f_3+f^2_2+f_1^2) \\ & =-\varSigma_{ik}m_im_k\left[\left(\frac{x_i}{m_i}-\frac{x_k}{m_k}\right)^2+(p_i-p_k)^2\right],\end{aligned} \] so ergibt sich: Die Summe der Produkte der Quadrate der Abstände von \(n\) Wirbeln zu je zweien in die Intensität der Wirbel, deren Abstand betrachtet wird, erhält sich während der ganzen Bewegung ungeändert. Zuletzt werden die zur Erledigung der Aufgabe bei \(n\) Wirbeln erforderlichen Operationen bestimmt.