Mémoire sur le mouvement d'un corps solide dans un liquide indéfini. (Q1508251)

Die Hauptgedanken dieser Arbeit sind von dem Verf. bereits 1893 in seiner russischen Schrift über die Bewegung eines festen Körpers in einer unbegrenzten Flüssigkeit ausgesprochen worden (F. d. M. 25, 1499, JFM 25.1499.02). Gegenwärtig legt er die Einzelheiten seiner Untersuchungen dar. Für die natürlichste Methode zur Aufstellung der Differentialgleichungen des Problems erklärt er die \textit{Dirichlet}sche, welche das betrachtete Problem auf dasjenige der Bewegung eines freien festen Körpers zurückführt, der gegebenen äußeren Kräften und den Druckkräften der Flüssigkeiten senkrecht zur Oberfläche des Körpers unterworfen ist. In dem ersten Kapitel der vorliegenden Abhandlung werden gemäß\ der erwähnten Methode die Bewegungsgleichungen unter den folgenden allgemeinen Voraussetzugen aufgestellt: 1. Der feste Körper wird begrenzt von einer geschlossenen Oberfläche (\(S\)) von beliebiger (endlicher) Ordnung des Zusammenhanges, die überall eine bestimmte Tangentialebene hat. 2. Im Innern des Körpers befindet sich eine endliche Anzahl \(q\) von Hohlräumen, die von geschlossenen Oberflächen mit denselben Eigenschaften wie (\(S\)) begrenzt und mit nicht zusammendrückbaren Flüssigkeiten gefüllt sind. 3. Der feste Körper ist beliebigen äußeren Kräften unterworfen; die Flüssigkeiten sind Kräften unterworfen, die eine Kräftefunktion besitzen. 4. Die Geschwindigkeit der Bewegung der den beweglichen festen Körper enthaltenden Flüssigkeit, sowie diejenige der in den Hohlräumen enthaltenen Flüssigkeiten folgt aus einem Potential, und die betrachteten Flüssigkeiten sind nicht zusammendrückbar und ideal. Die Integration dieser Differentialgleichungen bietet bekanntlich fast unüberwindliche Schwierigkeiten, selbst in dem Falle der Abwesenheit jeder beschleunigenden Kraft. Daher ist zunächst dieses letztere einfachste Problem zu untersuchen; das geschieht im zweiten Kapitel der Abhandlung, indem noch angenommen wird, daß\ die Oberfläche des Körpers einfach zusammenhängend ist. Hierzu wird eine allgemeine Methode benutzt, nämlich die Methode der Integration durch sukzessive Approximationen, die bei jedem festen Körper anwendbar ist, falls das Verhältnis \(\varepsilon = \varrho /M\), wo \(\varrho\) die Dichtigkeit der unbegrenzten Flüssigkeit, \(M\) die gesamte Masse des Körpers und der die Hohlräume anfüllenden Flüssigkeiten ist, einen hinlänglich kleinen Wert hat. Diese Methode führt das allgemeine Problem auf die wohlbekannte Integration der Bewegungsgleichungen eines freien festen Körpers und auf diejenige gewisser linearer Diferentialgleichungen mit variabeln Koeffizienten zurück, welche letztere auf Quadraturen führt. Da die Gleichungen der Bewegung für \(\varepsilon = 0\) periodische Lösungen zulassen, so kann dies auch nach bekannten Sätzen von \textit{H. Poincaré} für hinreichend kleine Werte von \(\varepsilon\) eintreten. Die Lösung dieser interessanten Frage bildet den Gegenstand des Kapitels III der Abhandlung; hier wird die Existenz unendlich vieler periodischer Lösungen nachgewiesen, die bei jedem starren Körper vorkommen.