Sur les surfaces \((S)\) de \textit{M. Zaremba}. (Q1508273)

(Siehe auch JFM 33.0800.02) Die sogenannten Fundamentalfunktionen einer Fläche \((S)\) haben folgende Bedeutung: Sie bilden eine Reihe von Funktionen \(u_1,u_2,u_3,\dots\) deren jede sowohl für den Innen-, als für den Außenraum von \((S)\) der \textit{Laplace}schen Gleichung genügt, während an der Fläche \((S)\) selbst die \textit{Poincaré}schen Fundamentalfunktionen der Bedingung genügen: \[ (1)\quad \left(\frac{\partial u_k}{\partial N}\right)_e-\left(\frac{\partial u_k}{\partial N}\right)_i= \lambda_k\left\{ \left(\frac{\partial u_k}{\partial N}\right)_e+\left(\frac{\partial u_k}{\partial N}\right)_i \right\} , \] die \textit{Le Roy}schen, die zum Unterschiede mit \(v_1,v_2,v_3,\dots\) bezeichnet werden mögen, der Bedingung \[ (2)\quad \left(\frac{\partial v_k}{\partial N}\right)_e -\left(\frac{\partial v_k}{\partial N}\right)_i=\xi_k\cdot \varphi\cdot v_k, \] die \textit{Stekloff}schen endlich, \(w_1, w_2, w_3, \dots\), der Bedingung: \[ (3)\quad \left(\frac{\partial w_k}{\partial N}\right)_i+\eta_k\varphi \cdot w_k=0. \] Darin bezeichnen \(\lambda_k, \xi_k, \eta_k\) gewisse Konstanten, die als charakteristische Zahlen der verschiedenen Funktionen bezeichnet werden, \(\varphi\) eine auf \((S)\) positive und kontinuierliche Funktion, \(N_e\) und \(N_i\) die äußere und innere Normale von \((S)\). \textit{Le Roy} und \textit{Stekloff} hatten nun nachzuweisen gesucht, daß\ sich ihre Fundamentalfunktionen für beliebige Flächen \((S)\) auf die von \textit{Poincaré} reduzieren lassen, so daß\ mit der Existenz der letzteren auch die der beiden anderen Klassen von Fundamentalfunktionen festgestellt wäre. Diese Beweise sind jedoch, wie \textit{Stekloff} selbst und gleichzeitig \textit{Korn} bemerkt haben, nicht stichhaltig. \textit{Zaremba} hat daher die Untersuchung von neuem aufgenommen und findet, daß\ die in Rede stehende Reduktion für beliebige Flächen \((S)\) nicht möglich ist, daß\ vielmehr, wenn sie möglich sein soll, die Fläche \((S)\) folgende Eigenschaft besitzen {muß} : Sind \(A\) und \(B\) zwei beliebige Punkte der Fläche, \(\alpha ,\beta\) die Winkel, welche die Normalen in \(A\) und \(B\) mit \(A B\), resp. \(BA\) bilden, so {muß} eine Funktion \(\psi (M)\) [\(M\) ein auf \((S)\) liegender veränderlicher Punkt] existieren von der Beschaffenheit, daß\ für alle Lagen von \(A\) und \(B\) \[ (4)\quad \psi (A)\cos\beta =\psi (B)\cos\alpha \] ist. \textit{Levi-Civita} untersucht die Bedeutung der Bedingung (4) und findet durch Betrachtung zweier Punkte, die auf einer asymptotischen Linie von \((S)\) liegen, daß\ (4) nur erfüllt werden kann, wenn \((S)\) entweder eine Fläche zweiter Ordnung oder eine Zylinder- oder eine Kegelfläche ist. Für andere Flächen ist daher die Reduktion der verschiedenen Fundamentalfunktionen auf einander nicht möglich.