Sul potenziale elastico. (Q1508276)

Der Verf. hatte bereits in zwei früheren Arbeiten (s. F. d. M. 25, 1567, 1893/94; 26, 712, 1895, JFM 25.1567.01 und JFM 26.0712.01) gezeigt, daß\ diejenigen Transformationen, welche das elastische Potential invariant lassen, genau den Symmetrieverhältnissen der Kristalle entsprechen. In der vorliegenden Arbeit gibt er eine vereinfachte Ableitung seiner früheren Resultate. Sind \(u,v,w\) die Komponenten der elastischen Verrückung, bezogen auf ein rechtwinkliges Achsensystem \(x,y,z\), und \(u',v',w'\) dieselben Komponenten, bezogen auf ein andres rechtwinkliges System \(x', y', z'\), und setzt man, wie üblich, \[ x_x=\frac{\partial u}{\partial x},\quad x_x'=\frac{\partial u'}{\partial x'}\quad \text{etc. etc.}, \] so hat man, falls das zweite System aus dem ersten durch Drehung um die \(z\)-Achse entsteht, die Beziehungen: \[ (1)\;\left\{ \begin{aligned} \text{a)}\;quad x_x'- & y_{y'}'+ix_{y'}'=e^{2i\alpha}x_x-y_y+ix_y), \\ \text{b)}\;& x_{x'}'+y_{y'}'=x_x+y_y, \\ \text{c)}\;& z_{x'}'+iy_{z'}'=e^{i\alpha}(z_x+iy_z), \\ \text{d)}\;& z_{z'}'=z_z. \end{aligned} \right. \] Es ist zu ermitteln, welche Funktionen zweiter Ordnung der sechs Größen \(x_x,\dots ,y_z\) bei der Transformation ungeändert bleiben. Falls \(\alpha\) beliebig ist, folgen aus (1) sofort die fünf Invarianten der Rotation: \[ (x_x+y_y)^2,\;z_z^2,\;(x_x+y_y)z_z,\;(x_x-y_y)^2+x_y^2,\;z^2_x+y^2_z; \] und das aus ihnen gebildete elastische Potential enthält fünf Konstanten. Andere Funktionen zweiter Ordnung erhält man, wenn man die Gleichungen a), resp. c) mit sich selbst multipliziert, ferner a) mit b), c), d). Diese sind aber nicht mehr für beliebige \(\alpha\) invariant, sondern nur für \(\alpha = \frac{2\pi}{n}\), falls \(n\) einen der Werte 2, 3, 4 hat. So ergeben sich acht zyklische Invarianten für \(n = 2\), je zwei für \(n = 3\) und \(n = 4\); mit Hinzunahme der fünf Rotationsinvarianten werden diese Zahlen 13, 7, 7. Drei weitere Klassen von Invarianten ergeben sich, wenn man zu jeder der zyklischen Gruppen eine Rotation um eine zur Achse der zyklischen Gruppen senkrechte Achse (und zwar um den Winkel \(\pi\)) hinzufügt. Die Zahlen der Konstanten dieser Gruppen sind (die Rotations- und zyklischen Invarianten zusammengerechnet) resp. 9, 6, 6. Eine letzte Klasse von Invarianten endlich erhält man, wenn man zur ersten der letztgenannten drei Gruppen eine Rotation um eine ternäre Achse hinzufügt, die zu den ursprünglichen drei senkrechten Achsen symmetrisch ist. Für diese letzte Klasse enthält der Ausdruck des elastischen Potentials nur drei Konstanten. Die für das elastische Potential (das im allgemeinen 21 Konstanten enthält) ermittelten sieben speziellen Formen entsprechen je einer der Kristallformen, die sich aus der Theorie der Kristallstruktur ergeben. Bemerkt werden mag noch, daß\ , wenn man für das elastische Potential eine Funktion von \(x_x,\dots ,y_z\) von höherem als dem zweiten Grade annehmen würde, man neue Invarianten erhalten, aber auf einen Widerspruch mit dem Gesetz der Rationalität der Indizes geführt würde.