Note on the wave surface of a dynamical medium aeolotropic in all respects. (Q1508418)

Der Aufsatz knüpft an eine Arbeit von \textit{Macdonald} an, über die in F. d. M. 31, 795, 1900 (siehe JFM 31.0795.03) berichtet ist. Wie dort, wird auch hier für das Potential \(V\) der elastischen Kräfte eine homogene Funktion zweiten Grades der sechs Komponenten der relativen Verschiebung und der drei Komponenten der Elementarrotation gesetzt, d. h. es wird angenommen, daß\ auch eine bloße Rotation eines Elements elastische Kräfte hervorruft. Dieser Ansatz für \(V\) kommt auf dasselbe hinaus, als wenn für eine homogene Funktion zweiter Ordnung der neun Größen \[ w_1=\frac{\partial u_1}{\partial x},\;w_2=\frac{\partial u_1}{\partial y},\dots ,w_9=\frac{\partial u_3}{\partial z} \] gesetzt wird: \[ (1)\quad 2V=\varSigma c_{rs}w_rw_s\quad (r,s=1,2,\dots ,9;\;c_{rs}=c_{sr}), \] wo \(u_1, u_2, u_3\) die Komponenten der Verrückung eines Teilchens sind. Ferner wird hier der Ansatz dahin verallgemeinert, daß\ für die kinetische Energie \(T\) der Volumeneinheit eine homogene Funktion zweiten Grades der drei Größen \[ \frac{\partial u_1}{\partial t}=u_1',\quad \frac{\partial u_2}{\partial t}=u_2',\quad \frac{\partial u_3}{\partial t}=u_3' \] angenommen wird: \[ (2)\quad 2T=\varSigma a_{rs}u_r'u_s'\quad (r,s=1,2,3), \] deren Koeffizienten \(a_{rs} = a_{sr}\) konstant sind. Die elastischen Gleichungen nehmen dann die Form an: \[ \begin{aligned} (3)\quad & \frac{\partial}{\partial t}\left( \frac{\partial T}{\partial u'_1}\right) =\frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{\partial V}{\partial w_1}\right) +\frac{\partial}{\partial y}\left( \frac{\partial V}{\partial w_2}\right) +\frac{\partial}{\partial z}\left( \frac{\partial V}{\partial w_3}\right) , \\ & \hdotsfor1 \end{aligned} \] Wendet man diese Grundgleichungen auf ebene Wellen an, die sich in der Richtung \(l, m, n\) mit der Geschwindigkeit \(v\) fortpflanzen, so ergeben sich zwischen \(v\) und den Richtungskosinus \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) der zugehörigen Verrückungen drei Gleichungen der Form \[ (4)\quad v^2\;\frac{\partial A}{\partial \alpha_r}=\frac{\partial B}{\partial \alpha_r}\quad (r=1,2,3), \] wo \[ \begin{aligned} & A=\varSigma a_{rs}\alpha_r\alpha_s \quad (r,s=1,2,3), \\ & B=(P_1\alpha_1+P_2\alpha_2+P_3\alpha_3)^2 \end{aligned} \] ist, während die \(P\) lineare Funktionen von \(l,m,n\) sind, deren Koeffizienten von den in (1) auftretenden Konstanten \(c_{rs}\) abhängen. -- Die Elimination der \(\alpha\) aus den drei Gleichungen (4) gibt eine Gleichung dritten Grades für \(v^2\), deren Wurzeln \(v^2_1,v^2_2,v^2_3\) seien. Es wird dann gefragt: Wie müssen die Konstanten \(c_{rs}\) in dem Ausdruck (1) von \(V\) beschaffen sein, damit zwei dieser Wellen rein rotatorische sind, d. h. nur von den Komponenten der Elementarrotation \(\frac{\partial u_3}{\partial y}-\frac{\partial u_2}{\partial z}\) etc. abhängen. Die Frage beantwortet sich verhältnismäßig einfach, wenn man die definite quadratische Form \(A\) durch die Summe dreier Quadrate darstellt, die Form \(B\) durch dieselben Quadrate, multipliziert resp. mit \(v_1^2,v_2^2,v_3^2\). Den resultierenden Ausdruck für \(V\), der 16 Koeffizienten enthält (statt der ursprünglichen 45), übergehen wir hier. Weiter wird die Gleichung der Wellenfläche für das betrachtete Medium abgeleitet. Die Wellenfläche ist eine Fläche vierter Ordnung, die man aus der \textit{Fresnel}schen Wellenfläche erhält, wenn man in der Gleichung der letzteren an Stelle der Koordinaten lineare Funktionen der Koordinaten setzt. Dieselbe Gleichung ist für die Wellenfläche von \textit{Heaviside} aus der elektromagnetischen Lichttheorie abgeleitet (s. F. d. M. 17, 1026, 1885, JFM 17.1026.01). Zum Schluß\ werden die Bedingungen dafür gesucht, daß\ zwei der drei Wellen, die sich in dem Medium nach einer gegebenen fortpflanzen, rein transversal (statt vorher rotatorisch) sind. Man gelangt dann zu ganz analogen Resultaten wie vorher, auch in bezug auf die Wellenfläche.