A class of algebraical identities and arithmetical equalities. (Q1509102)

Sind \(p_1, p_2, p_3, \dots\) eine (endliche oder unendliche) Reihe irgend welcher Größen und \(p_r, p_s, p_t, \dots\) eine endliche Anzahl derselben, die irgendwie ausgefählt sind, bedeuten ferner \(\varrho, \sigma, \tau, \dots\) positive ganze Zahlen, so entwickle man das Produkt \[ p_r^{\varrho} \cdot p_s^{\sigma} \cdot p_t^{\tau} \cdots \left( 1- \frac{1}{p_1} \right)^m \cdot \left(1- \frac{1}{p_2} \right)^m \cdot \left( 1- \frac{1}{p_3} \right)^m \dots \] nach fallenden Potenzen der \(p\) und bezeichne die Gesamtheit der Glieder, welche keine negativen Potenzen enthalten, mit \(F_m (p_r^{\varrho} p_s^{\sigma} p_t^{\tau} \cdots )\); alsdann bestehen für jedes \(m\) die Identitäten \[ \text{(A)} \quad F_{m-1} (p_r^{\varrho} p_s^{\sigma} p_t^{\tau} \cdots) \equiv \varSigma F_m (p_r^{\varrho'} p_s^{\sigma'} p_t^{\tau'} \cdots), \] wo die Summation über alle ganzzahligen Werte \(\varrho', \sigma', \tau', \dots\) zu erstrecken ist, für welche \[ 0\leqq \varrho' \leqq \varrho, \quad o\leqq \sigma' \leqq \sigma, \quad 0\leqq \tau' \leqq \tau, \] und \[ \text{(B)} \quad F_{m+1} (p_r^{\varrho} p_s^{\sigma} p_t^{\tau} \cdots) \equiv \varSigma \mu (p_r^{\varrho -\varrho'} p_s^{\sigma -\sigma'} p_t^{\tau -\tau'} \cdots)\; F_m (p_r^{\varrho'} p_s^{\sigma'} p_t^{\tau'} \cdots), \] wo \(\mu\) \((p_r^{\varrho''} p_s^{\sigma''} p_t^{\tau''} \cdots)=0\), wenn irgend eine der Zahlen \(\varrho'', \sigma'', \tau'', \dots\) größer als 1, \(=+\)1, wenn keine größer als 1 und die Anzahl derer, die gleich 1 sind, eine gerade Zahl, \(=-1\), wenn keine größer als 1 und die Anzahl derer, die gleich 1 sind, eine ungerade Zahl ist. Aus diesen Identitäten (A) und (B) läßt sich, wenn man unter den \(p\) Primzahlen versteht, eine Reihe arithmetischer Gleichheiten (Ausdrücke für arithmetische Summen) ableiten, unter denen z. B. die bekannte zahlentheoretische Gleichung \(n= \varSigma \varphi (d)\) als spezieller Fall enthalten ist.