The syzygetic theory of orthogonal binariants. (Q1509175)

\textit{MacMahon} hat in einem Vortrage, gehalten 1900 vor der British Ass., eine symbolische Methode zur Aufstellung voller Systeme und deren Syzygien von orthogonalen Invarianten und Kovarianten entwickelt. Der Verf. behandelt dasselbe Thema auf ganz elementarem Wege. Für eine binäre Form \(p\)ter Ordnung besteht das volle irreduzible System von nichtabsoluten orthogonalen Komitanten aus einem Paar \(x\pm iy\) linearer universaler Kovarianten und \(p+1\) linearen Invarianten. Jede weitere Urform zieht ein entsprechendes System linearer Invarianten nach sich, ohne daß\ weitere neue Bildungen auftreten. Der Unterschied gegenüber der allgemeinen projektiven Invariantentheorie tritt besonders darin hervor, daß\ der Substitutionsmodul jetzt in Faktoren zerlegbar ist. Für \(x=X\cos \vartheta -Y\sin \vartheta\), \(y=X\sin \vartheta + Y\cos \vartheta\) sind Invarianten zu berücksichtigen, die sich nach der Transformation der Variabeln um eine (positive, verschwindende, negative Potenz) von \(\cos \vartheta \pm i\sin \vartheta =e^{\pm i\vartheta}\) ändern. So ist unmittelbar \[ X + iY= e^{-i\vartheta} (x + iy),\quad X - iY= e^{i\vartheta} (x - iy), \] also erscheinen \(\xi =x+ iy\), \(\eta =x - iy\) als fundamentale (universale) Komitanten, desgleichen \(\xi^m \eta^n\) etc. Weiter sind \[ \frac{\partial}{\partial x} + i\;\frac{\partial}{\partial y},\quad \frac{\partial}{\partial x} -i\;\frac{\partial}{\partial y} \] fundamentale invariante Differentiationsprozesse, und man hat, wenn die Identität besteht: \(F(X, Y) \equiv f(x, y)\), die abgeleitete Identität: \[ \text{I.}\quad \left( \frac{\partial}{\partial X} +i\;\frac{\partial}{\partial Y} \right)^r \left(\frac{\partial}{\partial X} -i\;\frac{\partial}{\partial Y} \right)^s F(X,Y) \equiv e^{-i(r-s) \vartheta} \left( \frac{\partial}{\partial x} +i\;\frac{\partial}{\partial y} \right)^r \left( \frac{\partial}{\partial x} -i\;\frac{\partial}{\partial y} \right)^s f(x,y), \] die sich leicht weiter ausdehnen läßt. Damit ist man imstande, alle rationalen ganzen Differentialgleichungen, die ihre Form bei orthogonaler Transformationen beibehalten, sofort hinzuschreiben. Ein anderes bequemes Hülfsmittel ist die infinitesimale orthogonale Transformation; sie liefert die oben erwähnten linearen (linear unabhängigen) Invarianten. Neben der direkten orthogolalen Transformation wird analog die schiefe (mit der Determinante \(-1\)) in Betracht gezogen. Weiter werden erzeugende Funktionen der Komitanten aufgestellt, wird überhaupt eine systematische Theorie der binären orthogonalen Invarianten entwickelt.