Über die Verallgemeinerung eines \textit{Weierstraß}schen Satzes. (Q1509188)

Ein bekannter \textit{Weierstraß}scher, von \textit{Christoffel} verallgemeinerter Satz ist: I. ``Die Determinante einer Schar \textit{Hermite}scher Formen \(\mu H+L\), wo \(H\) definit ist, hat nur reelle Elementarteiler mit dem Exponenten 1.'' Der Satz wird hier auf bilineare Formen ausgedehnt: II. ``Die Determinante einer Schar bilinearer Formen \(\mu P + iQ\) hat nur reelle Elementarteiler mit dem Exponenten 1, wenn die Determinanten von \(P\) und \(P+Q\) von Null verschieden sind, wenn eine der beiden \textit{Hermite}schen Formen \(P+ \overline{P'}, \frac 1i (P- \overline{P'})\) definit ist, und wenn noch \(Q\) der Bedingung \(QP^{-1} + \overline{Q'} \overline{P'}^{-1}=0\) genügt.'' Ist im besonderen \(P\) eine definite \textit{Hermite}sche Form, so wird \(Q+ \overline{Q'} =0\), also \(iQ\) eine beliebige \textit{Hermite}sche Form; dann reduziert sich II auf I. Zum Beweise von II wird \(\mu = i \frac{\varrho -e^{i\varphi}}{\varrho + e^{i\varphi}}\) gesetzt, dann nimmt \(\mu P+iQ\) bis auf einen unwesentlichen Faktor die Gestalt \(\varrho E-A\) an, wo \(A= e^{i\varphi} (P+ Q^{-1}) (P- Q)\). Dann entspricht jedem Elementarteiler \((\mu - \mu_1)^{e_1}\), bez. \(\mu P+ iQ\) ein solcher \((\varrho - \varrho_1)^{e_1}\) bez. \(\varrho E -A\). Aus der Natur von \(\varrho E-A\) kann leicht gefolgert werden, daß\ \(e_1=1\) und \(\mu_1\) reell ist. Wie Satz I nach dem Verf. (F. d. M. 31, 116*), 1900, JFM 31.0116.03) als das erste Glied einer Kette von Sätzen erscheint, so auch Satz II. *) Es seien hier einige Druckfehler jenes Referats verbessert. S. 117 Z. 7 von oben ist \(s\) durch \(2s\) zu ersetzen, desgl. ib. Z. 2 von unten \(s_1\) durch \(2s_1\). Endlich hat es ib. letzte Zeile von unten und S. 118 Z. 2 zu heißen: ``die für Größen, deren absoluter Betrag ungleich 1 ist, verschwinden.''