Über die partiellen Differentialgleichungen, denen \textit{Hermite}sche Formen genügen. (Q1509190)

Es sei \((A)\) eine lineare homogene Differentialgleichung mit dem Fundamentalsystem \(y_1, y_2, \dots, y_n\). Die Koeffizienten von \((A)\) sind als eindeutige Funktionen von \(x= \xi + i\eta\) vorausgesetzt. Bezeichnet, wie üblich, ein horizontaler Strich die konjungirt-komplexe Größe, so bilde man aus den \(y, \overline y\) die \textit{Hermite}sche Form \(\varphi =\varSigma c_k y_k y_k\) (mit reellen \(c\)). Nach bekannten Determinantensätzen wird: \[ \text{(I)} \qquad \frac{\partial^2 \log \varphi}{\partial x\partial \overline x} = \frac{1}{\varphi^2} \varSigma \varSigma c_{ik} w_{ik} \overline{w_{ik}}, \] wo \(w_{ik} = y_i y_k' - y_k y_i'\). Es wird zunächst der Fall \(n=2\) betrachtet. Hier existiert nur ein \(w_{12}\), das den Wert 1 hat. Führt man statt \(\varphi\) den Ausdruck \(u= \log \frac{4}{\varphi^2}\) ein und setzt 4 \(\frac{\partial^2 u}{\partial x \partial \overline x} = \frac{\partial^2 u}{\partial \xi^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial \eta^2} = \varDelta u\), so nimmt (I) die Gestalt der bekannten Differentialgleichung an: \[ \text{(II)} \qquad \varDelta u=- 2c_1 c_2 e^u. \] Läßt die Monodromiegruppe von \((A)\) \(\varphi\) invariant, so ist \(\varphi\) eine eindeutige Funktion der \(\xi\), \(\eta\) und liefert so eine eindeutige Lösung \(u\) von (II), aber auch die Umkehrung wird bewiesen. Faßt man \[ ds= \frac{2\sqrt{d\xi^2 + d\eta^2}}{\varphi} \] als Linienelement einer Fläche auf, so ergiebt sich das Krümmungsmaß\ der Fläche als konstant, nämlich gleich \(c_1, c_2\). Nunmehr wird der Fall \(n=3\) in Angriff genommen. Die drei Ausdrücke \(z_i = w_{ik}\) bilden jetzt das dem Fundamentalsysteme \(y_1, y_2, y_3\) von (A) \(y''' + 3py' + qy =0\) adjungirte der adjungirten Gleichung (B) \(z''' + 3pz' -(q-3p')z=0\). Die \textit{Hermite}sche Form in (I) wird einfach \(c_1 c_2 c_3 \psi\), wo die Form \(\psi = \frac 1c z_1 \overline{z_1} + \dots\) adjungiert ist zu \(\varphi = cy_1 \overline{y_1} + \dots\). Die Beziehung zwischen \(\varphi\) und \(\psi\) ist eine gegenseitige. Für \(u= \log \varphi\), \(v=\log\psi\) kommt: \[ \text{(III)} \quad \varDelta u = 4c_1 c_2 c_3 e^{-2u+v}, \quad \varDelta v= 4c_1 c_2 c_3 e^{-2v+u}. \] Läß\(t\) die Monodromiegruppe von (A) \(\varphi\) invariant, so auch die von (B) die adjungierte Form \(\psi\). \(\varphi\), \(\psi\) sind eindeutig in \(\xi\), \(\eta\), und man erhält so eine eindeutige simultane Lösung \(u,v\) von (III). Es gelingt wiederum der Nachweis der Umkehrung, und die zu (III) gehörigen Differentialgleichungen (A), (B) werden wirklich aufgestellt. Die Ausdehnung der Betrachtungen auf beliebiges \(n\) ist prinzipiell mittels der \textit{Forsyth}schen Relationen (F. d. M. 20, 95, 1888, JFM 20.0095.01) zwischen den Lösungen der sukzessiven assoziierten von assoziierten Differentialgleichungen ausführbar; nur die rechnerische Durchführung stößt auf Schwierigkeiten.