Theory of linear groups in an arbitrary field. (Q1509202)

Es sei ein Rationalitätsbereich oder, wie die amerikanischen Mathematiker sagen, ein ``Feld'' \(F\), d. h. ein vollständiges System von Elementen, welches durch unbeschränkte Ausführung der rationalen Operationen der Algebra nicht erweiterungsfähig ist, gegeben. Verf. betrachtet nun lineare homogene Substitutionsgruppen, deren Koeffizienten ausnahmslos, was im folgenden nicht stets besonders betont werden soll, dem gegebenen Felde \(F\) angehören, und findet vier unendliche Systeme von Gruppen, die für ein \textit{jedes} \(F\) einfach sind. Die Gruppe aller linearen homogenen Substitutionen der Determinante 1 in \(m\) Variablen besitzt als größte invariante Untergruppe die von den Substitutionen \(\xi_i' =\mu \xi_i\) \((i=1,2, \dots, m)\) \((\mu^m =1)\) gebildete Gruppe; daher ist die Gruppe aller linear gebrochenen Substitutionen der Determinante 1 in \(m-1\) Variablen mit Koeffizienten aus \(F\) für jedes \(F\) eine einfache Gruppe. Eine weitere für jedes \(F\) einfache Gruppe entspringt aus der Betrachtung der nach der \textit{Jordan}schen Bezeichnung (Traité des substitutions, 1870, S. 172) linearen Abelschen Gruppe, d. h. der Gruppe linearer homogener Substitutionen, welche die alternierende Form \[ \sum_{i=1}^{i=m} (\xi_i \xi_{i+m}' - \xi_{i+m} \xi_i') \] mit kogredienten Variablenpaaren \(\xi_i, \xi_i'\) \((i= 1,2, \dots,2m)\) absolut invariant lassen; die größte invariante Untergruppe dieser Gruppe wird nämlich durch die Identität und diejenige Substitution, welche jede Variable mit \(- 1\) multipliziert, gebildet. Zu zwei weiteren Gattungen für jedes \(F\) einfacher Gruppen führt die Betrachtung derjenigen linearen homogenen Substitutionsgruppen in \(2m+1\), bezw. \(2m\) Variablen mit Koeffizienten aus \(F\), welche die quadratische Form in \(2m+1\) Variablen \[ \xi_0^2 + \sum_{i=1}^{i=m} \xi_i \xi_{i+m}\;(m\geqq 2), \] bezw. in \(2m\) Variablen \[ \sum_{i=1}^{i=m} \xi_i \xi_{i+m}\;(m\geqq 3) \] invariant lassen. Bedeutet \(F\) die Gesamtheit aller Zahlen, so sind die vier gefundenen Gruppengattungen gerade die vier Typen einfacher Gruppen, auf welche Lie seine Theorie der endlichen kontinuierlichen Transformationsgruppen geführt hat, und außer denen, abgesehen von Ausnahmefällen, es nach \textit{Killings} und \textit{Cartans} Untersuchungen keine weiteren endlichen einfachen kontinuierlichen Gruppentypen gibt. Ist \(F\) im besonderen ein endlicher Körper, so hat man es mit Gruppen zu tun, die von \textit{Dickson} in seinem Werke ``Linear groups with an exposition of the \textit{Galois} field theory'' (Leipzig, 1901) behandelt sind. Für die besonderen Werte \(p=2\) und \(p^n =3\) des \textit{Galois}schen Feldes \([p^n]\) erleidet übrigens, wie noch bemerkt werden muß, die Einfachheit der vier Gruppengattungen Ausnahmen, die von \textit{Dickson} in seinem Werke ausführlich behandelt sind. Bekanntlich existiert eine 14-gliedrige \textit{einfache} endliche kontinuierliche Transformationsgruppe, die von \textit{Killing, Engel} und \textit{Cartan} untersucht ist und einen der Ausnahmefälle darstellt, der sich nicht in die vier Typen einordnen läßt. Verf. konstruiert in seiner inhaltsreichen zweiten Arbeit auch für jedes \(F\) (der Fall, daß\(F\) das \textit{Galois}sche Feld \([2^n]\) ist, wird ausgeschlossen) ein Analogon zu dieser kontinuierlichen einfachen Gruppe; es ist eine Untergruppe mit Koeffizienten aus \(F\) der linearen homogenen Substitutionsgruppe, welche die quadratische Form von 7 Variablen \(\xi_0^2 + \sum_{i=1}^{i=3} \xi_i \xi_{i+3}\) invariant läßt. Für den Fall eines endlichen Körpers hat der Verf. eine neue einfache endliche Gruppe der Ordnung \(p^{6n}(p^{6n} -1) (p^{2n} -1)\), falls \(p\) eine ungerade Primzahl ist, gewonnen. Diese einfachen endlichen Gruppen, die sich noch nicht in der Liste der bekannten einfachen endlichen Gruppen des schon zitierten Werkes des Verf., S. 307ff. finden, liefern für die niedrigsten Werte \(p^n = 3\) und \(p^n = 5\) neue einfache Gruppen der Ordnungen 4\,245\,696 und 5\,859\,000\,000. Die erste Arbeit (siehe JFM 32.0131.02), welche über den größten Teil der Untersuchungen der zweiten berichtet, führt auch noch zwei weitere für jedes \(F\) einfache Gruppengattungen an; nur falls \(F\) das Gebiet aller Zahlen umfaßt, sind diese Gruppengattungen mit den voraufgegangenen isomorph. Eingehend beschäftigt sich mit diesem eben erwähnten Gegenstand Dicksons Arbeit ``Linear groups in an infinite field'' (Lond. M. S. Proc. 34, siehe JFM 33.0152.01).