Representation of linear groups as transitive substitution groups. (Q1509206)

Verf. beginnt zunächst mit einem einfachen Beweis des Theorems, daß\ die aus der Gruppe aller linearen homogenen Substitutionen der Determinante + 1 mit \(m\) Variablen und Koeffizienten aus dem \textit{Galois}schen Felde \([p^n]\) und ihrer invarianten Untergruppe aller Substitutionen \(\xi_i' = \varrho \xi_i (i=1,2,\dots, m)\), \(\varrho^m =1\), entspringende Quotientengruppe als zweifach transitive Permutationsgruppe des Grades \(\frac{p^{nm} -1}{p^n -1}\) darstellbar ist. Hierauf wird eine Methode entwickelt, um die wichtigsten speziellen Untergruppen der linearen homogenen Gruppe mit Koeffizienten aus dem \(GF[p^n]\) als transitive Permutationsgruppen darzustellen. Dieses Verfahren wird in vorliegender Arbeit auf die gewöhnliche orthogonale Gruppe, diejenige Gruppe, welche bei geradem \(m\) die quadratische Form: \(\sum_{i=1}^{i=m-1} \xi_i^2 + \nu \xi_m^2\), wobei \(\nu\) eine nicht quadratische Zahl des \(GF[p^n]\) ist, invariant läßt und nach dem Verf. die zweite orthogonale Gruppe heißt, die \textit{Abel}sche lineare und die zwei hypoabelschen Gruppen angewandt. Die behandelten Gruppen umfassen also alle Gruppen mit Koeffizienten aus \(GF[p^n]\), die quadratische Formen invariant lassen. (Vgl. \textit{Dickson}: American J. 21, 193-256, ferner: Linear groups with an exposition of the \textit{Galois} field theory, Second part, Chap. VII and VIII, sowie F. d. M. 30, 137, 1899, JFM 30.0137.03). Von den mannigfachen wichtigen Resultaten sei nur folgendes angeführt: Die orthogonale Gruppe der Determinante +1 kann für eine ungerade Variablenzahl als eine transitive Permutationsgruppe des Grades \(\frac{p^{n(n-1) -1}}{p^n -1}\) dargestellt werden. Die erste hypoabelsche Gruppe in \(m=2M\) Variablen, deren Koeffizienten stets einem \(GF[2^n]\) angehören, kann für \(M>1\) als transitive Permutationsgruppe von sowohl \[ (2^{nM} -1) (2^{n(M-1)} +1) : (2^n -1), \] als auch \[ (2^{nM} - 1) \cdot 2^{n(M-J)} \] Buchstaben dargestellt werden. Für \(n=1\) hat man es mit der von \textit{C. Jordan} in seinem Traité des substitutions et des équations algébriques (1870) untersuchten ersten hypoabelschen Gruppe zu tun, die kleinere der zwei obigen Zahlen ist für \(n=1\) die letztere \((2^M- 1) .2^{M-1}\). Das gewonnene Resultat stimmt auch mit dem Isomorphismus dieser \textit{Jordan}schen ersten hypoabelschen Gruppe mit der \textit{Steiner}schen Gruppe (Traité, S. 229-249) überein. Die zweite hypoabelsche Gruppe kann als transitive Permutationsgruppe von \((2^{nM} +1) (2^{n(M-1)} -1) : (2^n -1)\) Buchstaben dargestellt werden, wenn sie selbst sich auf \(2M\) Variable bezieht. Wichtig für die Untersuchung ist der in der Arbeit verwandte Begriff ``sukzessiver Allgemeinheit'', welcher der orthogonalen, der zweiten orthogonalen, der \textit{Abel}schen, den zwei hypoabelschen und der diesbezüglich in Math. Ann. 55 untersuchten hyperorthogonalen Gruppe zukommt.