Über auflösbare Gruppen. IV. (Q1509211)

Mit Hülfe seiner Theorie der Gruppencharaktere beweist Verf. folgenden Satz: ``Ist die Gruppe \({\mathfrak G}\) der Ordnung \(g\) in der Gruppe \(\mathfrak H\) der Ordnung \(h = gn\) enthalten, und sind je zwei Elemente von \({\mathfrak G}\), die in \(\mathfrak H\) konjugiert sind, auch schon in \({\mathfrak G}\) konjugiert, ist \(r\) die Ordnung und \(m\) der Index der Kommutatorgruppe \(\mathfrak R\) von \({\mathfrak G}\), und sind \(m\) und \(n\) teilerfremd, so erzeugen die Elemente von \(\mathfrak H\) deren Ordnungen in \(n\) aufgehen, zusammen mit der Kommutatorgruppe von \(\mathfrak H\) eine charakteristische Untergruppe \({\mathfrak S}\) von \(\mathfrak H\), deren Ordnung \(s\) durch \(r\) und \(n\), und deren Index durch \(m\) teilbar ist. Sind \(g\) und \(n\) teilerfremd, so ist \(s= rn =\frac hm\), und die kommutative Gruppe \(\mathfrak H/\mathfrak S\) ist der Gruppe \({\mathfrak G}/ {\mathfrak R}\) isomorph.'' Für \(r=1\) erhält man den Hauptsatz der unter gleichem Titel III erschienenen Arbeit des Verf., der im vorangehenden Referat als I bezeichnet ist (siehe JFM 32.0136.03). -- Von den mannigfachen interessanten Anwendungen des Theorems ist besonders die Annahme wichtig, daß\ die Elemente von \({\mathfrak G}\), die innerhalb \(\mathfrak H\) konjugiert sind, nur durch Elemente von \({\mathfrak G}\) in einander transformiert werden können. \(\mathfrak H\) läßt sich dann als transitive Permutationsgruppe von \(n\) Symbolen darstellen, daß\ die Permutationen, die ein bestimmtes Synmbol nicht versetzen, die Gruppe \({\mathfrak G}\) oder eine der \(n\) mit \({\mathfrak G}\) konjugierten, zu \({\mathfrak G}\) teilerfremden Gruppen bilden. Hierdurch werden dann folgende Sätze bewiesen: Enthält eine transitive Gruppe des Grades \(n\) keine Permutation, die zwei Symbole ungeändert läßt, außer der identischen, so bilden die \(n-1\) Permutationen, die alle Symbole versetzen, zusammen mit der identischen eine charakteristische Untergruppe. (Vgl. das Referat über die Arbeit von \textit{W. Burnside}: On transitive groups of degree \(n\) and class \(n-1\), F. d. M. 31, 133, 1900, JFM 31.0133.01). Ist die Gruppe \({\mathfrak G}\) der Ordnung \(g\) in der Gruppe \(\mathfrak H\) der Ordnung \(gn\) enthalten, und ist sie darin mit \(n\) verschiedenen Gruppen konjugiert, von denen je zwei teilerfremd sind, so enthält \(\mathfrak H\) eine und nur eine charakteristische Untergruppe der Ordnung \(n\). Diese wird gebildet von allen Elementen von \(\mathfrak H\), deren Ordnungen in \(n\) aufgehen. Über die Ordnung \(g\) von \({\mathfrak G}\) werden die \textit{Burnside}schen Sätze (Theory of groups of finite order. Cambridge, 1897, 1 42) verschärft.