On group characteristics. (Q1509213)

Verf. will die wichtige Theorie der Gruppencharaktere, die \textit{Frobenius} seit 1896 in den Berl. Ber. in einer größeren Anzahl von Arbeiten (F. d. M. 27, 92, 94, 1896; 28, 130, 1897; 29, 102, 1898; 30, 129, 130, 1899, JFM 27.0092.01, JFM 27.0094.01, JFM 28.0130.01, JFM 29.0102.01, JFM 30.0129.01 und JFM 30.0130.01) entwickelt hat, wie er sich bescheiden ausdrückt, für englische Leser auseinandersetzen. Auf Grund anderer Beweismethoden, wie sie \textit{Frobenius} verwendet, und zwar in Zusammenhang mit seinen eigenen früheren Untersuchungen über die kontinuierlichen Gruppen linearer homogener Substitutionen, welche zu jeder abstrakten endlichen Gruppe gehören (\textit{Burnside}, London M. S. Proc. 29; F. d. M. 29, 103, 1898, JFM 29.0103.03), liefert \textit{Burnside} eine wertvolle Darstellung des fraglichen Gebietes. Es möge nur aus der Einleitung ein Passus wiedergegeben werden, weil derselbe das Wesen der Gruppencharaktere recht treffend erklärt, obgleich diese Definition nicht Ausgangspunkt der Theorie ist: ``Eine Gruppe endlicher Ordnung \(g\) heißt als irreduzible Gruppe linearer homogener Substitutionen in \(m\) Variablen dargestellt, wenn \(g\) mit der Gruppe linearer homogener Substitutionen holoedrisch oder meroedrisch isomorph ist, und wenn es ferner unmöglich ist, \(m'(< m)\) lineare Funktionen der Variablen zu finden, welche bei jeder Transformation der Gruppe linearer homogener Substitutionen nur unter sich transformiert werden. Zwei konjugierte Operationen der Gruppe haben in ihrer kanonischen Form dieselben Multiplikatoren. Die Summe dieser Multiplikatoren heißt die Charakteristik der Klasse konjugierter Operationen oder einer beliebigen Substitution der Klasse für die fragliche Darstellung der Gruppe. Die Charakteristiken der verschiedenen Klassen konjugierter Operationen bei einer und derselben Darstellung heißen zusammen ein Gruppencharakter. Ist \(g\) meroedrisch isomorph mit der Gruppe linearer homogener Substitutionen, so hat jede Operation der invarianten Untergruppe von \(g\), welche der identischnen Substitution der linearen homogenen Substitutionsgruppe entspricht, \(m\) (die Zahl der Variablen) zur Charakteristik. Im besonderen ist jede Gruppe meroedrisch isomorph zu der Gruppe; \(x'=x\), die nur aus der identischen Operation besteht. Unter den Gruppencharakteren gibt es daher stets einen, dessen Charakteristiken alle 1 sind.'' Dieser Charakter heißt nach \textit{Frobenius} Hauptcharakter. Im ganzen existieren so viel Gruppencharaktere, wie die abstrakte Gruppe Klassen konjugierter Elemente besitzt oder also die Anzahl der Charakteristiken eines jeden Charakters beträgt.