On some properties of groups of odd order. (Second paper.) (Q1509215)

Die vorliegenden Aufsätze (siehe auch JFM 32.0139.01) wenden vorzüglich die Theorie der \textit{Frobenius}schen Gruppencharaktere zur Untersuchung der Eigenschaften einer Gruppe an. Von den mannigfachen sehr wichtigen Resultaten des ersten Teiles, der selbst in drei Teile zerfällt, sei nur folgendes hervorgehoben: Eine Gruppe ungerader Ordnungszahl hat, abgesehen vom Hauptcharakter, keine sich selbst inversen Gruppencharaktere, d. h. in jedem solchen Zahlensystem, das einen der \(k\) Gruppencharaktere einer Gruppe ungerader Ordnung bildet, die in \(k\) Klassen konjugierter Elemente zerfällt, sind nicht alle Zahlen reell. Da jeder der \(k\) Gruppencharaktere auf das innigste mit einer der \(k\) Darstellungen der abstrakten Gruppe als einer irreduziblen Gruppe linearer homogener Substitutionen zusammenhängt (vergl. die Untersuchungen von \textit{Frobenius} in Berl. Ber., Referat in F. d. M. 30, 129, 1899, JFM 30.0129.01, sowie auch das voraufgehende Referat oben, siehe JFM 32.0138.02), so bedeutet der angegebene Satz die fundamentale Tatsache: Eine Gruppe ungerader Ordnung kann nie als irreduzible Gruppe linearer homogener Substitutionen mit nur ausschließlich reellen Koeffizienten dargestellt werden. Der zweite Teil beweist vorzüglich den Satz: Eine transitive Permutationsgruppe vom Primzahlgrade ist entweder doppelt transitiv oder auflösbar. Der dritte Teil dehnt die Resultate von \textit{G. A. Miller} (London M. S. Proc. 33, 6-10; Referat S. 145, siehe JFM 32.0145.01) auf anderem Wege bis zum Grade 100 aus. Von primitiven Gruppen ungerader Ordnung gibt es bis zum Grade 100 außer solchen vom Primzahlgrade, die, wie sich aus dem oben angeführten Satze ergibt, notwendig auflösbar sein müssen, nur eine von dem Grade 25 und der Ordnung 75, zwei von dem Grade 27 und den Ordnungen 27.13, bezw. 27.39, sowie schließlich eine von dem Grade 81 und der Ordnung 81.5. Alle diese Gruppen sind auflösbar. Da eine einfache Gruppe bei ihrer Darstellung in der kleinsten Anzahl von Symbolen als Permutationsgruppe primitiv ist, so folgt, daß\ jedenfalls bis zum Grade 100 überhaupt keine einfache Permutationsgruppe ungerader zusammengesetzter Ordnung existiert. Der zweite Aufsatz, der gleichzeitig mit dem Frobeniusschen ``Über auflösbare Gruppen III'' (Berl. Ber. 849, 1901; Referat oben S. 136, siehe JFM 32.0136.03) erschienen ist, berührt sich in seinen Resultaten mit denjenigen von Frobenius. Der im diesbezüglichen Referat mit I bezeichnete Satz wird für \(f=p^{\lambda}\), wobei \(p\) Primzahl ist, hergeleitet. Die von \textit{Burnside} verwandten Methoden, die von denjenigen \textit{Frobenius}' verschieden sind, reichen auch übrigens nach einer Bemerkung des letzteren (Berl. Ber. 1901, 1216) zur Herleitung des Satzes I aus. \textit{Burnside} formuliert aus seinen Untersuchungen folgendes Resultat: Ist die ungerade Primzahl \(p\) der kleinste Faktor der Ordnung einer Gruppe, so hat dieselbe eine invariante Untergruppe vom Index \(p\), wenn nicht entweder \(p^4\) oder \(p^3q\), wobei \(q\) ein Primfaktor von \(p^2 + p + 1\) ist, ein Faktor der Ordnung ist. Zum Schluß\ wird gezeigt, daß\ keine ungerade Zahl, welche Produkt von 6 Primzahlen ist, die Ordnung einer einfachen Gruppe angeben kann. Hieraus folgt unschwer, daß\ es jedenfalls keine einfache Gruppe ungerader zusammengesetzter Ordnung mit einer Ordnungszahl \(<40000\) gibt. Die Entscheidung, ob es überhaupt eine einfache Gruppe ungerader Ordnung gibt, eine Frage, auf die \textit{Burnside} schon in seiner Theory of groups of finite order 1897, S. 379, hingewiesen hat, verspricht sich der Verf. von der Theorie der Gruppencharaktere.