On the composition of group-characteristics. (Q1509216)

Ist \(g\) eine endliche abstrakte Gruppe, welche \(k\) Klassen konjugierter Elemente umfaßt, so mögen, wenn man ähnliche Gruppen nicht als verschieden ansieht, \(G_1, G_2, \dots, G_k\) die \(k\) verschiedenen irreduziblen Darstellungen von \(g\) als einer Gruppe linearer homogener Substitutionen sein. Verbindet man immer zwei zugeordnete Substitutionen der zwei holoedrisch oder meroedrisch isomorphen Gruppen \(G_i\) und \(G_j\) linearer homogener Substitutionen durch Produkttransformation (F. d. M. 30, 130, 1899, JFM 30.0130.01), so erhält man hierdurch eine ebenfalls zu \(g\) holoedrisch oder meroedrisch isomorphe Gruppe linearer homogener Substitutionen; zerlegt man diese Gruppe in irreduzible Bestandteile, so sind dieselben unter den Gruppen \(G_1, G_2, \dots, G_k\) enthalten. (\textit{Frobenius}: F. d. M. 30, 129, 1899, JFM 30.0129.01). Hierdurch folgt eine symbolische Relation \[ \text{(I)} \qquad G_i G_j =\sum_{s=1}^{s=k} g_{ijs} G_s; \] dabei sind \(g_{ijs}\) ganze positive Zahlen einschließlich der Null. \(g_{ijs}\) drückt aus, wie oft \(G_s\), bei der Zerlegung der durch Produkttransformation aus \(G_i\) und \(G_j\) gewonnenen Gruppe auftritt. Bedeuten \(\kappa_1^{(s)}, \kappa_2^{(s)}, \dots, \kappa_k^{(s)}\) die Zahlen des \(s\)ten Gruppencharakters, welcher der Darstellung \(G_s\) \((s=1,2,\dots,k)\) entspricht (vergl. das erste Referat über \textit{Burnside} oben, siehe JFM 32.0138.02), so hat man infolge der Eigenschaften der Produkttransformation und der Gruppencharaktere die Relationen : \[ \text{(I}') \qquad \kappa_p^{(i)} \kappa_p^{(j)} = \sum_{s=1}^{s=k} g_{ijs} \kappa_p^{(s)} \; \text{ für }\; p=1,2, \dots, k \] Diese Relationen \((\text{I}')\), welche sich aus (I) ergeben , sind das, was \textit{Frobenius} die Komposition der Charaktere nannte (F. d. M. 30, 130, 1899, JFM 30.0130.01); sie drücken aus, daß\ das Produkt zweier Charaktere einer Gruppe als lineare Funktion der Charaktere der Gruppe darstellbar ist. Das vollständige System der \(k^2\) Relationen (I) , für \(i,j = 1, 2, \dots, k\) kann auch als Multiplikationstabelle eines Systems komplexer kommutativer Zahlen \((G_i G_j = G_j G_i)\) angesehen werden. Aus dem vollständigenn Relationssystem (I) ergibt sich auch, was als das wesentlichste, neue Ergebnis anzusehen ist, die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, ob \(g\) eine invariante Untergruppe besitzt; dies hat statt, wenn in dem vollständigen System (I) schon eine geringere Anzahl der irreduziblen Darstellungen von \(g\) als \(k\) sich nur unter einander kombinieren.