On the exponential theorem for a simply transitive continuous group, and the calculation of the finite equations from the constants of structure. (Q1509254)

Sind \(r^3\) Konstanten \(c_{\sigma \varrho \tau}\) gegeben, welche den \textit{Lie}schen Relationen: \[ c_{\varrho \sigma \tau} + c_{\sigma \varrho \tau} =0, \] \[ \sum_{\tau =1}^{\tau =r} (c_{\beta \gamma \tau} c_{\tau \alpha \delta} + c_{\gamma \alpha \tau} c_{\tau \beta \delta} + c_{\alpha \beta \tau} c_{\tau \gamma \delta})=0 \] genügen, so bilde man sich eine Matrix \(E\) mit \(r\) Zeilen und \(r\) Kolonnen, deren Elemente \(E_{\varrho \sigma}\) definirt sind durch: \[ E_{\varrho \sigma} = \sum_{\tau =1}^{\tau =r} c_{\sigma \tau \varrho} e_{\tau} \begin{pmatrix} \varrho =1,2, \dots, r \\ \sigma =1,2, \dots, r \end{pmatrix} \,. \] Es sei: \[ \varDelta = 1+ \frac E1 + \frac{E^2}{2!} + \frac{E^3}{3!} + \cdots \] gesetzt. \(E', \varDelta'\) bezw. \(E'', \varDelta''\) mögen aus \(e_1', e_2', \dots, e_r'\) bezw. \(e^{\prime\prime}_1, e^{\prime\prime}_2, \dots, e^{\prime\prime}_r\) ebenso gebildet sein, wie es \(E\) und \(\varDelta\) aus \(e_1, e_2, \dots, e_r\) sind. Verf. beweist dann: Wenn (1) \(e^{\prime\prime}_{\sigma} =\varphi_{\sigma} (e,e')\) die endlichen Gleichungen der Paremetergruppe mit kanonischen Parametern und Variablen einer \(r\)-gliedrigen Gruppe der Zusammensetzung \(c_{\sigma \varrho \tau}\) sind, so besteht die Matrizenrelation: (2) \(\varDelta'' =\varDelta . \varDelta'\), welche \(r^2\) Gleichungen umfaßt. Das angegebene Theorem bezeichnet Verf. als Exponentialtheorem. Die in (2) vorkommenden Größen sind durch die Strukturkonstanten \(c_{\sigma \varrho \tau}\) der Gruppe bestimmt und erfordern nicht die Kenntnis von (1). Daher verwertet Verf. die \(r^2\) Gleichungen (2) seines Exponentialtheorems, von denen übrigens nur \(m \overset {=} < r\) unabhängig sind, wobei \(m\) die Gliederzahl der adjungirten Gruppen angibt, zur Bestimmung der endlichen Transformationen einer Gruppe gegebener Struktur; dabei stützt er sich darauf, daß\ die infinitesimalen Transformationen der kanonischen Parametergruppe durch \textit{F. Schur} gegeben sind. (Vgl. \textit{Lie-Engel}: Theorie der Transformationsgruppen, Bd. III, \(\S\) 144). Den Schluß\ des Aufsatzes bildet eine Reihe von Beispielen für das Exponentialtheorem und für die Nützlichkeit der Bezeichnungen aus der Matrizentheorie, die Verf. verwendet.