Über eine Klasse von Matrizen, die sich einer gegebenen Matrix zuordnen lassen. (Q1509271)

Der Verf. untersucht Matrizen \(T(A)\) beliebigen Grades \(r\) mit folgenden beiden Eigenschaften: 1. Die \(r^2\) Elemente sind ganze rationale Funktionen der \(m^2\) Variabeln \(a_{ik}\). 2. Geht die Matrix \(T(A)\) in \(T(B)\) oder \(T(C)\) über, wenn man \(a_{ik}\) durch \(b_{ik}\) oder \(c_{ik}\) ersetzt, so soll sein \(T(A)T(B)=T(C)\). Eine solche Matrix \(T(A)\) nennt der Verf. eine aus \(A\) gebildete invariante Form oder Matrix. Der Prozeß\ der Bildung einer solchen Matrix wird als invariante Operation bezeichnet. Ist ferner \(T(A)\) eine invariante Form von \(A\) und \(P\) eine beliebige konstante Matrix desselben Grades mit von Null verschiedenen Determinante, so ist auch die Matrix \(P^{-1} T(A)P\) eine invariante Form von \(A\) Zwei solche invariante Formen werden vom Verf. äquivalent genannt. Alsdann beweist der Verf., daß\ zwei invariante Formen \(T(A)\) und \(T_1(A)\) dann und nur dann äquivalent sind, wenn ihre Spuren, d. h. die Summen der Glieder ihrer Hauptdiagonalen einander gleich sind. Die Anzahl der verschiedenen, d. h. nicht äquivalenten, primitiven homogenen Operationen \(n\)-ter Ordnung ist endlich, und zwar gleich der Anzahl \(k\) der Zerlegungen der ganzen Zahl \(n\) in höchstens \(n\) gleiche oder verschiedene positive Summanden. Der Beweis dieser Sätze gelingt dem Verf., indem er zeigt, daß\ aus jeder homogenen invarianten Operation \(n\)-ter Ordnung eine Darstellung der symmetrischen Gruppe \(n\)-ten Grades durch lineare Substitutionen hervorgeht, und daß\ umgekehrt jeder solchen Darstellung eine und nur eine invariante Operation entspricht.