Lectures on Mathematics. Part 2. Lectures on General Arithmetic (edited by \textit{K. Hensel}), Section 1, Lectures on Number Theory, vol. 1. (Q1509321)

Seit dem Erscheinen des ersten Teiles der Kroneckerschen Vorlesungen, der von \textit{Netto} herausgegebenen Vorlesungen über die Theorie der einfachen und der vielfachen Integrale (1893-94, JFM 25.0034.02), ist eine größere Reihe von Jahren verflossen; mit Spannung hatte die mathematische Welt die Herausgabe der weiteren Vorlesungen erwartet, und sie wird nunmehr mit um so größerer Freude das Erscheinen des ersten Bandes der Kroneckerschen Vorlesungen über Zahlentheorie begrüßen, deren Bearbeitung Hensel übernommen hat. Dem Herausgeber stand ein großes Material zu Gebote; es lagen ihm, wie er berichtet, außer den Notizen Kroneckers sechs sorgfältige Ausarbeitungen von Vorlesungen vor, welche derselbe zu verschiedenen Zeiten über Zahlentheorie gehalten hat; da Kronecker bekanntlich den Stoff seiner Vorlesungen bei ihrer Wiederholung stets neu durchzuarbeiten und anders darzustellen pflegte, war es eine dankbare, aber schwierige Aufgabe, sie zu einem einheitlichen Ganzen zu verarbeiten. Der Herausgeber hat diese Aufgabe sehr glücklich gelöst; er hat auch eine Reihe von kleineren Zusätzen gemacht, welche dem Lernenden das Verständnis erleichtern und das Buch zu einem brauchbaren Lehrbuche der Zahlentheorie machen sollen. Der vorliegende Band, welcher 33 ``Vorlesungen'' umfaßt, zerfällt in vier Teile von etwa gleicher Länge. Ihnen geht eine ausführliche geschichtliche Einleitung voran, in welcher auf die Hauptprobleme der Zahlentheorie kurz hingewiesen wird; sie läßt schon erkennen, daß\ in der Folge nicht die Gewohnheit der meisten Vorlesungen und Lehrbücher befolgt werden soll, die Anwendung der analytischen Methoden möglichst hinauszuschieben; hier wird ihnen schon früh ein weitgehender Platz eingeräumt. Der erste Teil des vorliegenden Bandes: ``Teilbarkeit und Kongruenz im Gebiete der Zahlen'', beginnt mit den einfachsten arithmetischen Sätzen über die auf ganze Zahlen angewendeten arithmetischen Grundoperationen und behandelt diejenigen Tatsachen, welche wohl bei jeder Darstellung als die Grundlagen der Zahlentheorie angesehen werden. Im zweiten Teil: ``Die Rationalitätsbereiche und die Theorie der Modulsysteme'', wird dargelegt, daß\ man mit den Begriffen der Teilbarkeit und Kongruenz und den \textit{Gauß}schen Methoden auch das weitere Reich der rationalen Funktionen beliebig vieler Variablen vollständig beherrscht, wenn man den Begriff der Teilbarkeit durch ein Divisorensystem einführt. Die ganze 18. Vorlesung ist übrigens ein Zusatz des Herausgebers, welcher in ihr die Untersuchungen \textit{Kronecker}s selbständig weitergeführt und damit das Problem der Dekomposition der Modulsysteme zu einem befriedigenden Abschluß\ gebracht hat. Der dritte Teil: ``Anwendung der Analysis auf Probleme der Zahlentheorie'', beschäftigt sich hauptsächlich mit den grundlegenden Eigenschaften der Dirichletschen Reihen \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{c_n}{n^z}\) mit der reellen Variable \(z\) und mit ihrer Anwendung auf die Bestimmung der mittleren Werte zahlentheoretischer Funktionen; jene asymptotischen Sätze werden dann auch unabhängig von der Theorie der \textit{Dirichlet}schen Reihen bewiesen, was sie mitunter in schärferer Form liefert. Der vierte Teil: ``Allgemeine Theorie der Potenzreste und Beweis des Satzes über die arithmetische Progression'', schließt mit dem Beweise des berühmten Satzes ab, daß\ jede lineare Form \(mh +r\), wo \(m\) und \(r\) teilerfremd sind, unendlich viele Primzahlen darstellt. \textit{Kronecker} gestaltet den \textit{Dirichlet}schen Beweis so um, daß\ sich zugleich bei gegebenem \(\mu\) eine größere Zahl \(\overline \mu\) ergibt, so daß\ zwischen \(\mu\) und \(\overline \mu\) mindestens eine Primzahl der verlangten Art liegt.