On some generalizations of the theorems of Fermat and Wilson (Q1509349)

Verf. beweist folgende Sätze (von denen übrigens der erste kürzlich schon von \textit{Cahen} -- weniger einfach -- bewiesen worden war; vergl. S. 109-111 seines in F. d. M. 31, 174-175, 1900, besprochenen Buches, siehe JFM 31.0174.01): 1. Jede ganze symmetrische Funktion \(\nu\)-ter Dimension der Zahlen \(1,2,3, \dots, p-1\), wo \(p\) eine Primzahl bezeichnet, ist durch \(p\) teilbar, falls \(\nu\) kein Multiplum von \(p-1\) ist. 2. Teilt man die \(p-1\) Zahlen \(1,2, \dots, p-1\) irgendwie in zwei Ableitungen \(a_1, \dots, q_{\mu}\) und \(b_1, \dots, b_{\nu}\), so ist modulo \(p\) die Summe \(C_l\) aller Kombinationen der Elemente \((a_1, \dots, a_{\mu})\) mit Wiederholung zu je \(l\) kongruent der Summe \((-1)^{l_0} B_{l_0}\) aller Kombinationen der Elemente \((b_1, \dots, b_{\nu})\) ohne Wiederholung zu je \(l_0\) mit abwechselnden Zeichen, wenn \(l_0\) den kleinsten Rest von \(l\) modulo \(p-1\) bedeutet; hierbei ist speziell \(B_0 =1\) anzunehmen. 3. Teilt man die Zahlen \((1,2, \dots, p-1)\) irgendwie in die beiden Gruppen \((a_1, \dots, a_{\mu})\) und \((b_1, \dots, b_{\nu})\) und sind \(C_i (a_1, \dots, a_{\mu})\), bezw. \(D_i (b_1, \dots, b_{\nu})\) die Summen aller Kombinationen mitWiederholung zu je \(i\) der Elemente \((a_1, \dots, a_{\mu})\) bezw. \((b_1, \dots, b_{\nu})\) so läßt jede Summe \[ C_l + C_{l-1} D_1 + C_{l-2} D_2 + \dots + D_l, \] durch \(p\) geteilt, den Rest 1 oder 0, je nachdem \(l\) durch \(p-1\) teilbar ist oder nicht.