On congruences with a prime-power modulus (Q1509356)

Es hat zuerst \textit{Rados} (vergl. F. d. M. 17, 147, 1885, JFM 17.0147.04) die von \textit{König} ausgesprochenen Bedingungen für das Vorhandensein von genau \(k\) von Null verschiedenen inkongruenten Wurzeln einer Kongruenz in Bezug auf einen Primzahlmodul durch elegante Determinantenbetrachtungen bewiesen. \textit{Kronecker} (vergl. F. d. M. 18, 57-59, 1886, JFM 18.0057.02) hat die \textit{König}schen Bedingungen durch einfachere ersetzt. Verf. hat (vergl. F. d. M. 19, 179-180, 1887, JFM 19.0179.04) die \textit{Kronecker}schen Relationen in kürzerer Weise begründet und später (vergl. F. d. M. 21, 174, 1889, JFM 21.0174.01) neue Kriterien aufgestellt. In der vorliegenden Arbeit beschäftigt er sich mit der komplizierteren Aufgabe, Bedingungen für das Vorhandensein einer bestimmten Anzahl von Wurzeln einer primmoduligen Kongruenz aufzufinden, welche quadratische Reste, bezw. Nichtreste des Moduls sind, und er gelangt zu Resultaten, welche den von \textit{Kronecker} für den allgemeinen Fall gefundenen ganz analog sind. Der umfangreiche Wortlaut der Sätze, welcher mehrere Seiten füllt, verbietet eine ausführliche Wiedergabe; es sei hier nur der erste, einfachste Satz erwähnt: Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß\ der Kongruenz \[ \sum_{\mu =0}^{\mu =p-2} a_{\mu} x^{p-2 -\mu} \equiv 0(\text{mod.\,}p) \] mit primzahligem Modul \(p\) ein quadratischer Rest des Moduls genügt, besteht darin, daß\ die doppelt orthosymmetrische Determinante \[ \left| a_{\mu +1} +a_{\mu +i + \frac{p-1}{2}} \right|_{\left( \mu ,i= 0,1,2, \dots, \frac{p-3}{2} \right)} [a_k \equiv a_{k+ \lambda (p-1)} (\text{mod.\,}p)] \] durch \(p\) teilbar ist.